数学建模与数学实验 非线性迭代

目录

一、 实验解读 ........................................................................................................................... 1 二、 实验计划 ........................................................................................................................... 1

1. 迭代序列与不动点 ........................................................................................................... 1

1.1 程序 ....................................................................................................................... 1 1.2 实验思路 ............................................................................................................... 2 2. Logistic映射与混沌 ......................................................................................................... 2

2.1 程序 ....................................................................................................................... 2 2.2 实验思路 ............................................................................................................... 2 3. 方程求根 ........................................................................................................................... 3

3.1 程序 ....................................................................................................................... 3 3.2 实验思路 ............................................................................................................... 4 4. 分形 ................................................................................................................................... 4

4.1 程序 ....................................................................................................................... 4 4.2 实验思路 ............................................................................................................... 4

三、 实验过程与结果 ............................................................................................................... 5

1. 迭代序列与不动点 ....................................................................................................... 5 2. Logistic映射与混沌 ................................................................................................ 14 3. 方程求根 ..................................................................................................................... 25 4. 分形 ............................................................................................................................. 30 四、 实验总结 ......................................................................................................................... 34

非线性迭代

一、 实验解读

迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。 蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。

本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。

二、 实验计划

1.

迭代序列与不动点 程序

给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值x0，定义数列

xn?1?f(xn)，n?0,1,2,? （2.2.1）

1.1

{xn}称为f(x)的一个迭代序列。

对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序：

Clear[f]

f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数） Solve[f[x]==x , x] （求出函数的不动点）

g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction -> Identity];

g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0], DisplayFunction -> Identity]; x0=5.5; r = {};

r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}]; For[i = 1, i <= 100, i++,

r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, x0},

{x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}] }]]; x0=f[x0] ];

Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20}, （PlotRange控制图形上下范围） DisplayFunction -> $DisplayFunction] x[0]=x0;

x[i_]:=f[x[i-1]]; （定义序列）

1

t=Table[x[i],{i,1,10}]//N ListPlot[t] （散点图）

1.2

实验思路

首先对函数y?25x?85研究不动点，需要 x?3 （1）对Plot中{x,-10,20}可改为{x,-50,50}；对PlotRange中{ -1,20}可改为{-50,50}；

（2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5， 4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30；

（3）对t=Table[x[i],{i,1,20}]//N中20分别改为100，200； （4）对i<=100中100分别改为200，500，1000。 运行程序后观察蛛网图与散点图！一看数列是否收敛？如收敛，极限是多少？收敛速度是快是慢？二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？与平衡点处曲线的斜率有没有关系？三看初值对结果有没有影响？

其次，分别就f(x)?sinx，f(x)??x?1等函数利用（2.2.1）做迭代序列{xn}，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。 2.

Logistic映射与混沌 程序

从形如f?x??ax?1?x?的二次函数开始做迭代

2.1

xk?1?f?xk? k?0,1,?

（2.2.2）

这里，a??0,4?是一个参数。对不同的a系统地观察迭代（2.2.2）的行为。Mathematica程序：

IterGeo[a_, x0_] :=

Module[

{p1, p2, i, pointlist = {}, v= x0, fv= a*x0*(1 - x0)},

p1=Plot[ {a*x*(1 - x), x}, {x, 0, 1}, DisplayFunction -> Identity]; AppendTo[pointlist, {x0, 0}];

For[i = 1, i < 20, i++, AppendTo[pointlist, {v, fv}] …… 此处隐藏：4933字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……