[免积分]考研数三完整版（历年真题+答案详解）(2003-2010)真题之(5)

（III） P{Y?11X?}?22P{X?11,Y?}322?16?3.

114P{X?}42（23）（本题满分13分）

2设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,?)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.

求：（I） Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

（III）若c(Y1?Yn)2是?的无偏估计量，求常数c.

【分析】 先将Yi表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求Y1与

2Yn的协方差Cov(Y1,Yn)，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性

质；估计c(Y1?Yn)2，利用其数学期望等于?确定c即可. 【详解】 由题设，知X1,X2,?,Xn(n?2)相互独立，且

2EXi?0,DXi??2(i?1,2,?,n)，EX?0. 11n（I）DYi?D(Xi?X)?D[(1?)Xi??Xj]

nnj?i121 =(1?)DXi?2nn?DXj?inj

(n?1)221n?122???(n?1)???. =22nnn（II） Cov(Y1,Yn)?E[(Y1?EY1)(Yn?EYn)] =E(Y1Yn)?E[(X1?X)(Xn?X)] =E(X1Xn?X1X?XnX?X) =E(X1Xn)?2E(X1X)?EX

n222 =0?E[X1??X1Xj]?DX?(EX)

nj?222 - 16 -

=?22121??????2. nnn（III）E[c(Y1?Yn)2]?cD(Y1?Yn) =c[DY1?DY2?2Cov(Y1,Yn)] =c[n?1n?1222(n?2)??]??c?2??2， nnn故 c?n2(n?2).

n- 17 -