[免积分]考研数三完整版（历年真题+答案详解）(2003-2010)真题之(2)

+P{X?3}P{Y?2X?3}+P{X?4}P{Y?2X?4} =

111113?(0???)?. 423448（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为

X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .

【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.

【详解】 由题设，知 a+b=0.5

又事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，于是有

P{X?0,X?Y?1}?P{X?0}P{X?Y?1}， 即 a=(0.4?a)(a?b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x3?9x2?12x?a恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]

【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.

【详解】 f?(x)?6x?18x?12=6(x?1)(x?2)，知可能极值点为x=1,x=2，且 f(1)?5?a,f(2)?4?a，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设I1?2??cosDx2?y2d?,I2???cos(x2?y2)d?,I3???cos(x2?y2)2d?,其中

DDD?{(x,y)x2?y2?1}，则

(A) I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3.

(C) I2?I1?I3. (D) I3?I1?I2. [ A ]

222222222【分析】 关键在于比较x?y、x?y与(x?y)在区域D?{(x,y)x?y?1}上的大小.

2222【详解】 在区域D?{(x,y)x?y?1}上，有0?x?y?1，从而有

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?2?1?x2?y2?x2?y2?(x2?y2)2?0

由于cosx在(0,?2) 上为单调减函数，于是

22 0?cosx?y?cosx(2?y2)?cosx(2?y2)2

因此

??cosDx2?y2d????cos(xD2?y2)d????cos(xD2?y2)2d?，故应选(A).

（9）设an?0,n?1,2,?,若

??

?an?1?n发散，

?(?1)n?1?n?1an收敛，则下列结论正确的是

(A)

?an?1?2n?1收敛，

?a

n?1

2n

发散 . （B）

??a

n?1

?

2n

收敛，

?an?1?2n?1发散.

(C)

?(an?12n?1?a2n)收敛. (D)

?(an?12n?1?a2n)收敛. [ D ]

【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.

??1n?1【详解】 取an?，则?an发散，?(?1)an收敛，

nn?1n?1??

?但

?an?12n?1与

?a

n?1

2n

均发散，排除(A),(B)选项，且

??(an?12n?1进一步排除(C), 故?a2n)发散，

应选(D). 事实上，级数

?(an?12n?1?a2n)的部分和数列极限存在.

（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是

(B) f(0)是极大值，f()是极小值. （B） f(0)是极小值，f()是极大值.

??22（C） f(0)是极大值，f()也是极大值. (D) f(0)是极小值，f()也是极小值.

??22[ B ]

【分析】 先求出f?(x),f??(x)，再用取极值的充分条件判断即可.

【详解】 f?(x)?sinx?xcosx?sinx?xcosx，显然 f?(0)?0,f?()?0，

?2x?xsinx，又 f??(x)?cos且f??(0)?1?0,f??()??2是极大值，应选(B).

（11）以下四个命题中，正确的是

???0，故f(0)是极小值，f()22?(A) 若f?(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.

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（B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若f?(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.

(D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f?(x)在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设f(x)=

11, 则f(x)及f?(x)??2均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无xx界，排除(A)、(B); 又f(x)?排除(D). 故应选(C).

x在（0，1）内有界，但f?(x)?12x在（0，1）内无界，

（12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. 若

*T*Ta11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为

(A)

13. (B) 3. (C) . (D)

333. [ A ]

【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：

AA*?A*A?AE..

**【详解】 由A?A及AA?AA?AE，有aij?Aij,i,j?1,2,3，其中Aij为aij的代

*T数余子式，且AA?AE?AT2?A?A?0或A?1

23 而A?a11A11?a12A12?a13A13?3a11?0，于是A?1，且a11?3. 故正确选项为(A). 3（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，

A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A)

?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ D ]

【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k1?1?k2A(?1??2)?0，则

k1?1?k2?1?1?k2?2?2?0， (k1?k2?1)?1?k2?2?2?0. 由于?1,?2线性无关，于是有

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?k1?k2?1?0, ??k2?2?0. 当?2?0时，显然有k1?0,k2?0，此时?1，A(?1??2)线性无关；反过来，若?1，

A(?1??2)线性无关，则必然有?2?0(,否则，?1与A(?1??2)=?1?1线性相关)，故应

选(B).

方法二： 由于 [?1,A(?1??2)]?[?1,?1?1??2?2]?[?1,?2]??1?1?， ??0?2?可见?1，A(?1??2)线性无关的充要条件是 …… 此处隐藏：969字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……