[免积分]考研数三完整版（历年真题+答案详解）(2003-2010)真题之(3)

1?10?2??2?0.故应选(D).

（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?2)，其中?,?2均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是

1111t0.05(16),20?t0.05(16)). (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16)). 44441111(C)(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)). [ C ]

4444x??【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：~t(n?1).

sn(A) (20?【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，

x??~t(n?1)， 故?的置信度为0.90的置信sn区间是(x?1nt?(n?1),x?2111t?(n?1))，即(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).故应选

44n2(C).

三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分8分）

1?x1?).

x?01?e?xx 【分析】 \???\型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.

求lim(1?x1x?x2?1?e?x【详解】 lim( ?)?limx?01?e?xx?0xx(1?e?x)x?x2?1?e?x =lim

x?0x2 - 9 -

1?2x?e?x =lim

x?02x2?e?x3?. =limx?022（16）（本题满分8分）

22yx2?g2?g设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x?y. 22xy?x?y 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.

【详解】 由已知条件可得

?gyyx??2f?()?f?()， ?xxyx?2g2yyy2x1x????? ?f()?f()?f()， 234xyyy?xxx

?g1yxxx?f?()?f()?f?()， ?yxxyyy?2g1yxxxxx2x???????f()?f()?f()?f()， 22223xyyy?yxyyy2?2g2?g所以 x ?y22?x?y22yyy2xx2xy2yx2x=f?()?2f??()?f??()?2f??()?f??()

xyyyxyyxxx=

2yyf?(). xx（17）（本题满分9分） 计算二重积分

??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.

22【详解】 记D1?{(x,y)x?y?1,(x,y)?D}，

D2?{(x,y)x2?y2?1,(x,y)?D}，

于是

??xD2?y2?1d?=???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy

D1D2 - 10 -