[免积分]考研数三完整版（历年真题+答案详解）(2003-2010)真题之(4)

?=??20d??(r2?1)rdr???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy

01DD1?1?112?122=+?dx?(x?y?1)dy??2d??(r?1)rdr=?.

0004380（18）（本题满分9分） 求幂级数

?(2n?1?1)xn?1?12n在区间(-1,1)内的和函数S(x).

【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级

数展开式，从而达到求和的目的. 【详解】 设 S(x)??(2n?1?1)xn?1??12n，

?12n S1(x)??x，S2(x)??x2n，

n?12n?1n?1则 S(x)?S1(x)?S2(x)，x?(?1,1). 由于

S2(x)??xn?1?2nx2

=， 21?x

2n (xS1(x))???xn?1?x2?,x?(?1,1), 21?xt211?xdt??x?ln因此 xS1(x)??，

01?t221?xx又由于 S1(0)?0，故

11?xx?1,???1?ln, S1(x)?? 2x1?xx?0.?0,?1?11?x?ln?,x?1,所以 S(x)?S1(x)?S2(x)??2x1?x1?x2

x?0.?0,?（19）（本题满分8分）

设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],

- 11 -

有

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).

01【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论. 【详解】 方法一：设

F(x)??g(t)f?(t)dt??f(t)g?(t)dt?f(x)g(1)，

00x1则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且

F?(x)?g(x)f?(x)?f?(x)g(1)?f?(x)[g(x)?g(1)]，

由于x?[0,1]时，f?(x)?0,g?(x)?0，因此F?(x)?0，即F(x)在[0，1]上单调递减. 注意到 F(1)?而

?g(t)f?(t)dt??010110f(t)g?(t)dt?f(1)g(1)，

10?10g(t)f?(t)dt??g(t)df(t)?g(t)f(t)??f(t)g?(t)dt

01 =f(1)g(1)?故F(1)=0.

?10f(t)g?(t)dt，

因此x?[0,1]时，F(x)?0，由此可得对任何a?[0,1]，有 方法二：

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).

01?a0g(x)f?(x)dx?g(x)f(x)a0??f(x)g?(x)dx

0a =f(a)g(a)?

?a0f(x)g?(x)dx，

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx

01 =f(a)g(a)? f(a)g(a)??1aa0f(x)g?(x)dx??f(x)g?(x)dx

01?f(x)g?(x)dx.

由于x?[0,1]时，g?(x)?0，因此

f(x)g?(x)?f(a)g?(x)，x?[a,1]， 从而

??10af(x)g?(x)dx??f(a)g?(x)dx?f(a)[g(1)?g(a)]，

010g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx

01 - 12 -

?f(a)g(a)?f(a)[g(1)?g(a)]?f(a)g(1). （20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组

?x1?2x2?3x3?0,? （i） ?2x1?3x2?5x3?0,

?x?x?ax?0,23?1和 （ii） ?x1?bx2?cx3?0, 22x?bx?(c?1)x?0,23?1?同解，求a,b, c的值.

【分析】 方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可.

【详解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3. 对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换

1??123??10????，

1 235?01???????11a???00a?2??从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为

?123??101????? 235?011， ???????112???000??故(?1,?1,1)是方程组（i）的一个基础解系. 将x1??1,x2??1,x3?1代入方程组（ii）可得 b?1,c?2或b?0,c?1.

当b?1,c?2时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有

T ??112??101?， ?????213??011?显然此时方程组（i）与（ii）同解.

当b?0,c?1时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有

??101??101?， ?????202??000?- 13 -

显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.

综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解. （21）（本题满分13分） 设D???ATC?TC?为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n矩阵. ?B??EmPDP(I) 计算，其中P???o?A?1C??； En?T?1（II）利用(I)的结果判断矩阵B?CAC是否为正定矩阵，并证明你的结论.

【分析】 第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.

【详解】 (I) 因 P??TEmT?1??CA?o?，有 ?En??Em PDP=?T?1??CATo?En???A?CT?C??Em?B???o?A?1C?? En?C?A??Em =?T?1??oB?CAC??o? =??A?1C?? En?o?A?. T?1??oB?CAC?T?1（II）矩阵B?CAC是正定矩阵. 由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵

o?A?M??. T?1??oB?CAC?又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.

T因矩阵M为对称矩阵，故B?CAC为对称矩阵. 对X?(0,0,?,0)及任意的

T?1Y?(y1,y2,?,yn)T?0，有

o?A??X?T?1TT?1???B?CAC为正定矩 故(XT,YT)??Y(B?CAC)Y?0.?oB?CTA?1C??Y?????阵.

（22）（本题满分13分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)??

?1,0?x?1,0?y?2x,

其他.?0,- 14 -

求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II） Z?2X?Y的概率密度fZ(z). ( III ) P{Y?11X?}. 22【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分

布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.

【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度

fX(x)=? =?????2x???dy,0?x?1, f(x,y)dy=?0其他.??0,?2x,0?x?1,

?0,其他.关于Y的边缘概率密度

fY(y)=??????1dx,0?y?2,?y f(x,y)dx=??2其他.??0,?y0?y?2,?1?, =? 2其他.??0,（II） 令FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}，

1） 当z?0时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?0；

2） 当0?z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z} =z?12z; 4 3) 当z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?1.

?0,z?0,?12即分布函数为： FZ(z)??z?z,0?z?2,

4?z?2.?1,?10?z?2,?1?z,故所求的概率密度为：fZ(z)?? 2其他.??0, - 15 -