高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲(6)

2

解得x2＝42

4k11

1＋4k2，y1＝1＋4k2，

11

16

44k22

同理，x＝，y＝222，

1＋4k21＋4k2

22

2

44k144k2

所以OP2OQ＝(2＋2)2(2＋2)

1＋4k11＋4k11＋4k21＋4k2

2

2

22

4?1＋k1?4?1＋k2?

＝2 22

1＋4k11＋4k24＋4k11＋16k1

＝222 1＋4k11＋4k15＋20k12??225

≤＝， 22

?1＋4k1?41

当且仅当k1＝±时取等号．

25

所以OP2OQ的最大值为. 2

B组 能力提高

11．已知圆O1：(x－2)＋y＝16和圆O2：x＋y＝r (0e2)，则e1＋2e2的最小值是__________． 答案

3＋22

4

2

2

2

2

2

22

2

22

解析 ①当动圆M与圆O1，O2都相内切时，

MO2＋MO1＝4－r＝2a，故e1＝

2. 4－r②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，

MO1＋MO2＝4＋r＝2a′，故e2＝

2. 4＋r2424－2r因此e1＋2e2＝＋＝2，

4－r4＋r16－r令12－r＝t (10

128

24－t－

1

t113＋22

≥23＝＝.

424－16212－82

12．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x＝y相交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(x1－1)(x2－1)＝________. 答案 1

17

2

解析 设过定点(1,0)的直线的方程为y＝k(x－1)，

代入抛物线x＝y可得x－kx＋k＝0，故x1＋x2＝k，x12x2＝k，因此(x1－1)(x2－1)＝x12x2－(x1＋x2)＋1＝1.

2

2

x2y21

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的离心率e＝，左顶ab2

点为A(－4，0)，过点A作斜率为k (k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k (k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求解 (1)因为左顶点为A(－4,0)， 1

所以a＝4，又e＝，所以c＝2，

2又因为b＝a－c＝12， 所以椭圆C的方程为＋＝1.

1612(2)直线l的方程为y＝k(x＋4)，

2

2

2

AD＋AE的最小值． OMx2y2

xy??＋＝1，由?1612??y＝k?x＋4?，

x2

22

2

[k?x＋4?]消元得，＋＝1.

1612

化简得，(x＋4)[(4k＋3)x＋16k－12]＝0， －16k＋12

所以x1＝－4，x2＝. 24k＋3

－16k＋12－16k＋1224k当x＝时，y＝k(＋4)＝2， 22

4k＋34k＋34k＋3－16k＋1224k所以D(，2)． 2

4k＋34k＋3因为点P为AD的中点，

－16k12k所以P的坐标为(2，2)，

4k＋34k＋3

18

2

22

2

2

2

2

则k＝－3

OP4k (k≠0)．

直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0， 得E点坐标为(0,4k)，

假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ， 则kk3n－4kOP2EQ＝－1，即－4k2m＝－1恒成立，

所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，

所以???

4m＋12＝0，

?－ 即???

m＝－3，

?

3n＝0，

??

n＝0，

因此定点Q的坐标为(－3,0)．

(3)因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx，

?22

由?xy?16＋12＝1，

??y＝kx，

得M点的横坐标为x＝±43

4k2＋3

，

由OM∥l，得

AD＋AE|xD－xA|OM＝＋|xE－xA|

|x|

M－16k2

＋12

＝xD－2xA4k2

＋3＋8|x|＝43

M4k2＋3

＝1

4k2

＋9

324k2＋3

＝

1

2

63(4k＋3＋4k2＋3

)≥22， 当且仅当4k2

＋3＝

6

4k2

＋3

， 即k＝±

3

2

时取等号， 所以当k＝±3AD＋AE2时，OM的最小值为22. 19