高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲(5)

∴AN2BM＝4. 故AN2BM为定值．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：x2

4

＋

y2＝1上一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y220)＝r作两条切线

分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2. (1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程； (2)若r＝25

5. ①求证：k1

1k2＝－4；

②求OP2OQ的最大值．

(1)解 因为椭圆C的右焦点的坐标为(3，0)，所以圆心M的坐标为(3，±1

2)，从而圆M的方程为 (x－3)2

＋(y±1212)＝4

.

(2)①证明 因为圆M与直线OP：y＝k1x相切， 所以|k1x0－y0|k2＝25

，

1＋1

5即(4－5x22

0)k1＋10x0y0k1＋4－5y2

0＝0， 同理，有(4－5x2

2

2

0)k2＋10x0y0k2＋4－5y0＝0，

所以k2

2

2

1，k2是方程(4－5x0)k＋10x0y0k＋4－5y0＝0的两根， 2

从而k4－5y0

1k2＝4－5x2

04－5?1－1x2

＝4

0?

4－5x2

0－1＋52

＝4x0

1

4－5x2＝－. 04

②解 设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

?y＝k1x，联立???x2?4

＋y2

＝1，