高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲(3)

x2

2

x2

2

x2

22

x2

2

8

2kbb－1

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

1122

k＋k＋

22∴kAF＋kBF＝＝＝

＋ x1＋1x2＋1

2

y1y2

kx1＋bkx2＋b＋ x1＋1x2＋1

2kx1x2＋?k＋b??x1＋x2?＋2b＝0.

?x1＋1??x2＋1?

∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1) ＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b ＝2k3

b2－1

2kb－(k＋b)3＋2b＝0. 1122

k＋k＋22

∴b－2k＝0，∴直线AB方程为y＝k(x＋2)． ∴直线l总经过定点(－2,0)．

思维升华 解决探索性问题的注意事项：

存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．

x2y2

跟踪演练3 (20152四川)如图，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心

ab率是2→→

，点P(0,1)在短轴CD上，且PC2PD＝－1. 2

(1)求椭圆E的方程；

→→

(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得OA2OB→→

＋λPA2PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)， →→

又点P的坐标为(0,1)，且PC2PD＝－1，

??c2于是?＝，

a2??a－b＝c，

2

2

2

1－b＝－1，

2

解得a＝2，b＝2，

9

所以椭圆E的方程为＋＝1.

42

(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

x2y2

xy??＋＝1，联立?42

??y＝kx＋1，

22

2

得(2k＋1)x＋4kx－2＝0，

22

其判别式Δ＝(4k)＋8(2k＋1)＞0， 所以x1＋x2＝－

4k2

，x1x2＝－2， 2

2k＋12k＋1

2

→→→→

从而，OA2OB＋λPA2PB

＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ?－2λ－4?k＋?－2λ－1?＝ 2

2k＋1λ－1

＝－2－λ－2.

2k＋1所以当λ＝1时，－

λ－1

－λ－2＝－3， 2

2k＋1

22

→→→→

此时OA2OB＋λPA2PB＝－3为定值．

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD， →→→→→→→→此时，OA2OB＋λPA2PB＝OC2OD＋λPC2PD ＝－2－1＝－3.

→→→→

故存在常数λ＝1，使得OA2OB＋λPA2PB为定值－3.

x2y22

已知椭圆C1：2＋＝1(a>0)与抛物线C2：y＝2ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重

a3

合．

(1)求C1，C2的方程；

(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k≠0)的直线l，使得＝2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色．

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