高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲(4)

解 (1)因为C1，C2的焦点重合， 所以a－3＝，

2所以a＝4. 又a>0，所以a＝2.

于是椭圆C1的方程为＋＝1，

43抛物线C2的方程为y＝4x. (2)假设存在直线l使得＝2，

则可设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)．

??y＝4x，由?

?y＝k?x－1?，?

2

2

2

22

ax2y2

PNMQ

可得kx－(2k＋4)x＋k＝0，

2222

2k＋4

则x1＋x4＝2，x1x4＝1，

k所以PN＝1＋k2?x1＋x4?－4x1x4 4?1＋k?＝. 22

22

kxy??＋＝1，由?43??y＝k?x－1?，

2

22

可得(3＋4k)x－8kx＋4k－12＝0，

2222

8k4k－12则x2＋x3＝2，x2x3＝2，

3＋4k3＋4k所以MQ＝1＋k2?x2＋x3?－4x2x3 12?1＋k?

＝. 2

3＋4k若＝2，

4?1＋k?12?1＋k?则＝23， 22k3＋4k解得k＝±

6

. 2

6PN的直线l，使得＝2. 2MQ

2

2

2

2

2

2

PNMQ故存在斜率为k＝±

11

A组 专题通关

1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析 根据抛物线的概念可得机器人在以点F(1,0)为焦点的抛物线y＝4x上，由题意可得

??y＝4x，2

直线y＝k(x＋1)与抛物线y＝4x没有交点，联立直线与抛物线?

?y＝k?x＋1?，?

2

2

消元可得y＝k2＋k?2y－y＋k＝0，

44

即该方程无根，则k≠0且Δ＝1－k<0?k<－1或k>1， 所以k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

2

y2k2

x2y2

2．已知椭圆＋2＝1(0

4b若BF2＋AF2的最大值为5，则b的值是________． 答案

3

解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a＝2；由椭圆的定义，可知AF2＋BF2＋AB＝4a＝8，所2b以AB＝8－(AF2＋BF2)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可

2

a求得b＝3，即b＝3.

→→

3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP2FP43的最大值为________． 答案 6

解析 由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)， 则y＝3(1－)(－2≤x0≤2)．

4→→22OP2FP＝x0(x0＋1)＋y20＝x0＋x0＋y0 ＝x＋x0＋3(1－)

412

＝(x0＋2)＋2. 4

→→

又因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，OP2FP取得最大值，最大值为6.

4．已知抛物线y＝2px(p>0)，△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3.若直线AB，

2

2020

2

x2y2

x20

x20

12

BC，AC的斜率之和为－1，则＋＋的值为______．

y1y2y3

1

答案 －

111

p解析 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，

yA＝2pxA，??2

则?yB＝2pxB，??y2C＝2pxC，

2

三个式子两两相减得

?yA＋yB??yA－yB?＝2p?xA－xB?，??

??yA＋yC??yA－yC?＝2p?xA－xC?，???yB＋yC??yB－yC?＝2p?xB－xC?，2y1?yA－yB?＝2p?xA－xB?，??

即?2y3?yA－yC?＝2p?xA－xC?，??2y2?yB－yC?＝2p?xB－xC?，

??py－y＝k，即?＝yx－xpy－y??y＝x－x＝k，

BBCCBC2

pyA－yB＝＝kAB，y1xA－xBAACCAC3

1111所以＋＋＝－.

y1y2y3p→→22

5．若P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆(x－1)＋y＝4的任意一条直径，则PE2PF的

1615取值范围是________． 答案 [5,21]

→→→→→→

解析 因为PE2PF＝(NE－NP)2(NF－NP) →→→→→→2＝NE2NF－NP2(NE＋NF)＋NP

→→→22

＝－|NE||NF|2cos π－0＋|NP|＝－4＋NP. 又因为椭圆＋＝1的a＝4，b＝15，c＝1，

1615

x2y2

x2y2

N(1,0)为椭圆的右焦点，∴NP∈[a－c，a＋c]＝[3,5]，

→→

∴PE2PF∈[5,21]．

13

x2y2

6．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，A，B为左，右顶点，点P为双曲线

abC在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，

记m＝k1k2k3，则m的取值范围为________． 答案 (0,22)

x2y2c解析 ∵双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，∴e＝＝3，∴b＝2a，

aba设P(x，y)，∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点，

x2y2

∴2－2＝1，且x>0，y>0， ab∵A，B为双曲线C的左，右顶点，点O为坐标原点，PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3， ∴k1k2＝yx＋ax－a2

y＝2，k3＝>0，

yx又∵双曲线的渐近线为y＝±2x， ∴0

xy→→

7．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足AP⊥BP.若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线与动

ab点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (1,2)

解析 设P(x，y)，由题设条件，

得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x＋(y－2)＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．

2

2

22

x2y2b又双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得

aba2aa2＋b2a>1，即>1， 2

c所以e＝<2，又e>1，故1

8．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x＝4y的切线，切点分别为A、B，则直线

2

caAB恒过定点________．

答案 (0,2)

121

解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x，则y′＝x，则在点A4211

处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得，y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y22111

＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，222

14

11

则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此

22直线AB恒过定点(0,2)．

x2y23

9．(20162北京)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，

ab2

△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN2BM为定值． (1)解 由已知＝2

2

2

ca31

，ab＝1. 22

又a＝b＋c，解得a＝2，b＝1，c＝3. ∴椭圆C的方程为＋y＝1.

4

(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y0＝1.

4当x0≠0时，直线PA方程为y＝－2y0

令x＝0得yM＝. x0－2从而BM＝|1－yM|＝?1＋直线PB方程为y＝令y＝0得xN＝

x2

2

x20

2

y0

x0－2

(x－2)，

?

?

2y0?. x0－2??

y0－1

x＋1. x0

－x0

. y0－1

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