高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲

第3讲 圆锥曲线的综合问题

1．(20162四川改编)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y＝2px(p>0)上任意一点，

2

M是线段PF上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为______．

答案

2 2

2

?p?设P点坐标为?y0，y0?，显然，当y<0

解析 如图，由题意可知F?，0?，?2p?0

?2???

→→

时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨设y0>0.则OM＝OF＋

y0

→

31→2→?ypy0?222→1→→1→→

＋，FM＝OF＋FP＝OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝?，kOM＝2＝≤＝，?3333y0py02p222?6p33?

＋＋6p3py0当且仅当y0＝2p时等号成立．

2．(20162课标全国乙)设圆x＋y＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，

2

2

2

2

20

Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

解 (1)因为AD＝AC，EB∥AC， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED， 故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.

又圆A的标准方程为(x＋1)＋y＝16，从而AD＝4，所以EA＋EB＝4.

由题设得A(－1,0)，B(1,0)，AB＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0)．

43(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

2

2

x2y2

y＝k?x－1?，??22由?xy＋＝1??43

2

得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0.

2222

8k4k－12则x1＋x2＝2，x1x2＝2，

4k＋34k＋312?k＋1?

所以MN＝1＋k|x1－x2|＝. 2

4k＋3

2

2

2

1

过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，

k 1

点A到m的距离为

2

k2＋1

，

4k＋3

. k2＋1

2所以PQ＝2

?2?2

4－?2?＝4?k＋1?

2

故四边形MPNQ的面积

S＝MN2PQ＝12

121

1＋2. 4k＋3

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)． 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，MN＝3，PQ＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．

1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.

热点一 范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．

x2y2

例1 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点和短轴的两个端点构

ab成边长为2的正方形． (1)求椭圆C的方程；

(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且点P(4,3)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k12k2取最大值时，求直线l的方程． 解 (1)由题意可得b＝c＝2，a＝2， 故椭圆C的方程为＋＝1.

42(2)当直线l的斜率为0时，k1k2＝

3333＝. 4－24＋24

x2y2

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

??x＝my＋1，联立?22

?x＋2y＝4，?

整理得(m＋2)y＋2my－3＝0，

22

故y1＋y2＝

－2m－3

，y1y2＝2. 2

m＋2m＋2

2

又x1＝my1＋1，x2＝my2＋1， 3－y13－y2

因此k12k2＝2

4－x14－x2＝＝

?3－y1??3－y2?

?3－my1??3－my2?9－3?y1＋y2?＋y1y2

29－3m?y1＋y2?＋my1y2

2

3m＋2m＋534m＋1＝＝＋2. 2

4m＋648m＋12令t＝4m＋1，只考虑t>0时， 32t3故k12k2＝＋2＝＋

4t－2t＋254

2

≤1，当且仅当t＝5时取等号． 25t＋－2

t综上可得，直线l的方程为x－y－1＝0. 思维升华 解决范围问题的常用方法：

(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．

跟踪演练1 如图，已知椭圆：＋y＝1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直

4线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E，F两点．

x2

2

→→

(1)若ED＝6DF，求k的值； (2)求四边形AEBF面积的最大值．

解 (1)依题设得椭圆的顶点A(2,0)，B(0,1)， 则直线AB的方程为x＋2y－2＝0. 设直线EF的方程为y＝kx(k>0)．

设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1

x??＋y2＝1，

联立直线l与椭圆的方程?4

??y＝kx得方程(1＋4k)x＝4.

2

2

2

消去y，

3

故x2＝－x1＝

21＋4k2，

→→

由ED＝6DF知，x0－x1＝6(x2－x0)， 1510得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝， 27771＋4k由点D在线段AB上，知x0＋2kx0－2＝0， 得x0＝

2210

，所以＝， 1＋2k1＋2k71＋4k2232

化简，得24k－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.

38

(2)根据点到直线的距离公式，知点A，B到线段EF的距离分别为h1＝41＋k又EF＝， 2

1＋4k所以四边形AEBF的面积为

2

2k1＋k，h2＝2

11＋k2

，

S＝EF(h1＋h2)＝21

2

2?1＋2k?

2

1＋4k1＋

4k2 1＋4k＝21＋4k＋4k＝22

1＋4k1＋

4

＝2

≤22， 14k＋

k11

当且仅当4k＝，即k＝时，取等号，

k2所以四边形AEBF面积的最大值为22.

热点二 定点、定值问题

1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．

x2y2y2x2

例2 如图，曲线Γ由两个椭圆T1：2＋2＝1(a>b>0)和椭圆T2：2＋2

abbc＝1 (b>c>0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．若猫眼曲线Γ过

4

点(0，－2)，且a，b，c的公比为(1)求猫眼曲线Γ的方程；

2

. 2

(2)任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：

kOM为与k无关的定值； kON(3)若斜率为2的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求△ABN面积的最大值． (1)解 b＝2，∴a＝2，c＝1， ∴T1：＋＝1，T2：＋x＝1.

422

(2)证明 设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2)，线段CD中点M(x0，y0)， ∴x0＝

x2y2y2

2

x1＋x2

2

，y0＝

y1＋y …… 此处隐藏：1846字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……