用Matlab学习线性代数 - 线性方程组与矩阵代数概要(2)

是否存在长度为k的路。【若i+j+k为偶数，不存在；相反，则存在】 【路径见程序】

（5） 如果我们在图中增加边{V3,V6}，{V5,V8}，新图的邻接矩阵B可首先

令B=A，然后令B(3,6)=1, B(6,3)=1, B(5,8)=1, B(8,5)=1，对k=2,3,4,5计算Bk。（4）中的推测在新的图形中是否还是成立的？【不成立】见程序】

（6） 在图中增加{V6,V8}，并构造得到的图的邻接矩阵C，计算C的幂次，

并验证你在(4)中的推测对这个新图是否仍然成立。【不成立】【见程序】

V1 V2V8 V7V5 V6V4 V3

7．令A=magic(8)，然后计算其行最简形。使得首1对应于前三个变量x1,x2,x3，且其余的五个变量均为自由的。

（1）令c=[1:8]’，通过计算矩阵[A c]的行最简形确定方程组Ax=c是否相容。方程组是相容的吗？ 【不相容】 试说明。 【RA

并考虑方程组Ax=b。该方程组应为相容的。通过U=rref([A b])验证。对五个自由变量的任一组取值，我们都应可以得到一组解。事实上，令

x2=floor(10*rand(5,1))，若x2表示方程组解的最后5个坐标，则我们由x2求得x1=(x1,x2,x3)’。要这样做，只需要令U=rref([A b])。U的非零行对应于分块形式的线性方程组

?x1??EU??x??c

?2?为解此方程组，令V=U(1:3,4:8),c=U(1:3,9)

并利用Matlab，根据x2，c和V计算x1。令x=[x1;x2]，验证x是方程组的解。

8．令 B=[-1,-1;1,1]和A=[zeros(2),eye(2);eye(2),B] 验证B2=0。

（1）用Matlab计算A2，A4，A6，A8。猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k。用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。 （2）用Matlab计算A3，A5，A7和A9。猜想用子矩阵E，O和B如何表示分块形式的A2k-1。用数学归纳法证明你的猜想对任何正整数k都是成立的。 9．（1） Matlab命令

A=floor(10*rand(6)),B=A’*A

将得到元素为整数的对称矩阵。为什么？试说明。【第i行第j列的数等于第i列的数分别乘以第j列的数之和；第j行第i列的数等于第j列的数分别乘以第i列的数之和，故为对称矩阵】

用这种方法计算B来验证结论，然后将B划分成四个3x3的子矩阵。在Matlab中求子矩阵，令

B11=B(1:3,1:3),B12=B(1:3,4:6)

并用B的第四行到第6行类似定义B21和B22。

（2）令 C=inv(B11)。应有CT=C和B21T=B12。为什么？【对称阵的逆矩阵

与该逆矩阵的转置是相等的，B12的第i行的数等于B21的第i列的数】 试说明。用Matlab运算符’计算转置，并验证结论。然后，令

G=B21*C 和 H=B22-B21*C*B21’

利用Matlab函数eye和zeros构造

?EL???G0??B110? ,D????E?H??0计算W=L*D*L’，并通过计算W-B与B进行比较。证明：若用算术运算精确计算LDLT，它应准确等于B。 附表： 第一题： （1）

>> A=rand(4); >> B=rand(4); >> C=A*B; >> D=B*A; >> G=(A'*B')'; >> H=(B'*A')'; >> C-D

ans =

2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001 >> C-G ans =

2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001 >> C-H ans =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

>> D-G ans =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> D-H ans =

-2.2376e-001 -4.7289e-001 -1.3979e+000 -1.3204e+000 6.3633e-001 3.0354e-001 -2.2485e-002 1.5056e-001 1.7227e-001 1.1938e-001 -2.9484e-001 -2.3624e-001 8.7955e-001 6.5016e-001 -8.0370e-002 2.1506e-001 >> G-H ans =

-2.2376e-001 -4.7289e-001 -1.3979e+000 -1.3204e+000 6.3633e-001 3.0354e-001 -2.2485e-002 1.5056e-001