用Matlab学习线性代数 - 线性方程组与矩阵代数概要

用Matlab学习线性代数 线性方程组与矩阵代数

实验目的：熟悉线性方程组的解法和矩阵的基本运算及性质验证。 Matlab命令：

本练习中用到的Matlab命令有：inv，floor，rand，tic，toc，rref，abs，max，round，sum，eye，triu，ones，zeros。

本练习引入的运算有：+，-，*，’，，\\。其中+和-表示通常标量及矩阵的加法和减法运算；*表示标量或矩阵的乘法；对所有元素为实数的矩阵，’运算对应于转置运算。若A为一个n?n非奇异矩阵(det!=0)且B为一个n?r矩阵，则运算A\\B等价于A?1B。 实验内容：

1． 用Matlab随机生成4?4的矩阵A和B。求下列指定的C,D,G,H，并确定那些矩阵是相等的。你可以利用Matlab计算两个矩阵的差来测试两个矩阵是否相等。

（1）C=A*B,D=B*A,G=(A’*B’)’,H=(B’*A’)’ C=H;D=G； （2）C=A’*B’,D=(A*B)’,G=B’*A’,H=(B*A)’ C=H;D=G； （3）C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)

（4）C=inv((A*B)’),D=inv(A’*B’),G=inv(A’)*inv(B’),H=(inv(A)*inv(B))’

（3）（4）中无相等的

2． 令 n=200，并使用命令

A=floor(10*rand(n));

b=sum(A’)’

z=ones(n,1); 注释：（n行一列全为1的矩阵）

生成一个n?n矩阵和两个Rn中的向量，它们的元素均为整数。（因为矩阵和向量都很大，我们添加分号来控制输出。

（1） 方程组 Ax?b的真解应为z。为什么？ 【A中的每一行的元素之和

正好等于对应b的每一列，故z为其一解，又det不等于0，RA=RAb=n，故z为其解】试说明，可在Matlab中利用”\\”运算或计算A?1，然后用计算A?1b来求解。比较这两种计算方法的速度和精度。我们将使用Matlab命令tic和toc来测量每一个计算过程消耗的时间。只需要用下面的命令：

tic,x=A\\b；toc tic,y=inv(A)*b; toc

哪一种方法更快？ tic,x=A\\b；更快！

为了比较这两种方法的精度，可以测量求得的解x和y与真解z接近的程度。利用下面的命令：

max(abs(x-z)) max(abs(y-z))

哪种方法的到的解更精确？

>> max(abs(x-z))= 4.0168e-013 更精确！

>> max(abs(y-z)) = 6.1107e-013 （2） 用n=500和n=1000替换（1）中的n。 如（1）结果一样！

3． 令A=floor(10*rand(6))。根据构造，矩阵A将有整数元。将矩阵A的第六列更改，使得矩阵A为奇异的。令

B=A’，A(:,6)=-sum(B(1:5,:))’

（1） 设x=ones(6,1),并利用Matlab计算Ax。为什么我们知道A必为奇

异的？【因化简列，————>列成比例】试说明。通过化为行最简形来判断A是奇异的。

（2） 令B=x*[1:6]，乘积AB应为零矩阵。为什么？【因A的每一行的前

五个元素之和等于第六个元素的相反数，且在A上的每一行的元素同乘以相同的数，则仍等于0】试说明。用Matlab的*运算计算AB进行验证。

（3） 令C=floor(10*rand(6))和D=B+C，尽管C?D,但乘积AC和AD是

相等的。为什么？试说明。计算A*C和A*D，并验证它们确实相等。

【此处B为令B=x*[1:6]；A为A(:,6)=-sum(B(1:5,:))’】 由于A*B=0；故AC=AD；A(B+C)=AB+AC;

4． 采用如下方式构造一个矩阵。令

B=eye(10)-triu(ones(10),1)， 参见最后附表二：

为什么我们知道B必为非奇异的？

【上三角矩阵的行列式的值等于对角线上的元素相乘】 令C=inv(B)且x=C(:,10)，

现在用B(10,1)=-1/256将B进行微小改变。利用Matlab计算乘积Bx。

由这个计算结果，你可以得出关于新矩阵B的什么结论？【化简此时B，得行最简式，RB=9<10，可以得出B的第10列（从1—9行）与x互为相反数，且都是2的指数幂数，且第十行为0，】 它是否为奇异的？【是】 试说明。用Matlab计算它的行最简形。 5． 生成一个矩阵A： A=floor(20*rand(6)) 并生成一个向量b： B=floor(20*rand(6,1))-10

（1） 因为A是随机生成的，我们可以认为它是非奇异的。那么方程组

Ax?b应有唯一解。用运算“\\”求解。用Matlab计算[A b]的行

最简形U。比较U的最后一列和解x，结果是什么？【相等】在精确算术运算时，它们应当是相等的。为什么？【行最简式中可写出对应元素的实际含义，对应处的未知元就等于最后的数】试说明。为比较他们两个，计算差U(:,7)-x或用format long考虑它们。

（2） 现在改变A，试它成为奇异的。令 A(:,3)=A(:,1:2)*[4 3]’【第一

列乘以4加上第二列乘以3替换到第三列上】，利用Matlab计算rref([A b])。方程组Ax?b有多少组解？【无解】试说明。【RA

（3） 令 y=floor(20*rand(6,1))-10 且 c=A*y，为什么我们知道方程组

Ax=c必为 相容？的？【x此时必有一解y，故为相容的】试说明。计算[A c]的行最简形U。方程组Ax?b有多少组解？【无穷多解】试说明。【RA=RA c<6】

（4） 由行最简形确定的自由变量应为x3。通过考察矩阵U对应的方程

组，可以求得x3?0时所对应的解。将这个解作为列向量w输入Matlab中。为检验Aw?c，计算剩余向量c?Aw。

（5） 令U(:,7)?zeros(6,1)。矩阵U应对应于?A|0?的行最简形。用U求

自变量x3?1时齐次线性方程组的解（手工计算），并将你的结果输入为向量Z。用A*Z检验你的结论。

（6） 令v?w?3*z。向量v应为方程组Ax?c的解。为什么？试说明。

用Matlab计算剩余向量来验证v为方程组的解。在这个解中，自由变量x3的取值是什么？ 【x3=3】 如何使用向量w和z来求所有可能的方程组的解？【v=w+n*z,其中n为任意实数】试说明。

6． 考虑下图：

（1） 确定图的邻接矩阵A，将其输入Matlab；

（2） 计算A2并确定长度为2的路的条数【72】，其起止点分别为：【A^2+A

中的数值之和，数字表示有几种路径，具体看程序】

（3） 计算A4、A6、A8并回答(2)中各种情况长度为4、【368】6、【2362】

8、【15800】的路的条数。试推测什么时候从顶点Vi到Vj没有长度为偶数 【即为0】 的路。 【i=1，j=6; i=2,j=5; i=3,j=6或8； i=4,j=7; i=5,j=8;i=6,j=1或3; i=7,j=4; i=8,j=3或6;】

（4） 计算A3、A5、A7并回答（2）中各情况长度为3、【154】5、【922】

7【6098】的路的条数。你由（3）得到的推测对长度为奇数的路是否成立？【不成立】，试说明【见程序】。推测根据i+j+k的奇偶性，