12复数十年高考题（带详细解析）(7)

1z1z2+z1z2=－1，所以z1z2的实部=z1z2的实部=－.又|z1z2|=1，故z1z2的虚

2部为±

3， 23113z1z2=－±i，z2=z1(??i).

2222于是z1+z1(?1313?i)??i， 22221313?i或z1=??i，z2=1. 2222所以z1=1，z2=??z1?1?13i??z1???所以?，或22 ?13i?z2????z?1?22?240.解法一：z2+z=（cosθ+isinθ）2+cosθ+isinθ=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ 3?3???33=2cosθcos+i22sincos=2cos（cosθ+isinθ）

2222222=－2cos

?33［cos（π+θ）+isin（π+θ）］

222???∈（，π），∴－2cos＞0 222∵θ∈（π，2π），∴

∴复数z2+z的模为－2cos

?3，辐角为2kπ+π+θ（k∈Z）

22???+i22sincos） 222解法二：z2+z=z（1+z）=（cosθ+isinθ）（1+cosθ+isinθ） =（cosθ+isinθ）（2cos2

=2cos

????33（cosθ+isinθ）（cos+isin）=2cos（cosθ+isinθ）

222222以下同解法一.

41.解法一：如图12—3，设Z1、Z3对应的复数分别为z1、

z3，则由复数乘除法的几何意义有z1＝

1?z2［cos（?）＋

42图12—3 isin（??）］ 4＝

1223?13?1(1?3i)(?i)??i

22222z3＝

1??1221?31?3z2(cos?isin)?(1?3i)(?i)??i．

442222221?31?3?i 22注：求出z1后，z3＝iz1＝

解法二：设Z1、Ｚ3对应的复数分别是z1、z3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得??z1?z3?z2

?z3?z1?iz2∴z1＝

111?33?1?z2（1－i）＝（1－3i）（1－i）＝i 22221?33?11?31?3??i）＝i 2222z3＝z2－z1＝（1＋3i）－（

评述：本题主要考查复数的基本概念和几何意义，以及运算能力.此题以复

平面上的简单几何图形为背景，借以考查复数的向量表示与复数运算的几何意义等基本知识，侧重概念、性质的理解与掌握，以及运算能力和转化的思想，对复数教学有良好的导向作用.

42.解：（Ⅰ）由z=1+i，有w=（1+i）2＋3（1－i）－4=－1－i，所以w的三角形式是

552（cos??isin?）

44z2?az?b(1?i)2?a(1?i)?b(a?b)?(a?2)i??（Ⅱ）由z=1+i，有2

z?z?1(1?i)2?(1?i)?1i＝（a＋2）－（a＋b）i

由题设条件知，（a+2）－（a+b）i=1－i.

?a?2?1根据复数相等的定义，得?

?(a?b)??1??a??1解得?

?b?2所以实数a，b的值分别为－1，2.

评述：本题考查了共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.

33343.解：因为w为复数，argw＝?，所以设w=r（cos?＋isin?），

444则

(w)2?413333?(cos??isin?)[r2(cos??isin?)?4]wr4422，

12222?(??i)(r2i?4)?(1?i)(4?r2i)?[4?r2?(4?r2)i]?R,r222r2r从而4－r2＝0，得r=2.

33因此w＝2（cos??isin?)＝－2＋2i．

44