12复数十年高考题（带详细解析）(2)

40.（1995全国文，22）设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.

※

41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+3i，求Z1和Z3对应的复数.

※

42.（1994全国理，21）已知z=1+i，

（Ⅰ）设w=z2+3z－4，求w的三角形式.

※

z2?ax?b（Ⅱ）如果2=1－i，求实数a，b的值.

z?z?1(?)2?4343.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为π，且为实

?4数，求复数w.

答案解析

1.答案：B

解析一：通过复数与复平面上对应点的关系，分别求出z1、z2的辐角主值.argz1=

?3π，argz2=.

34z13?5?????∈［0，2π）， z24312所以arg

∴arg

z15?π. z212解析二：因为

z1?1?i133131??(?1?i)(?i)?(?)?(?)i. z212222223?i22在复平面的对应点在第一象限.故选B

评述：本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念，同时考查了灵活运用知识解题的能力，体现了数形结合的思想方法.

2.答案：A

解析：由已知z=

m?2i(m?2i)(1?2i)1??［（m－4）－2（m+1）i］在复1?2i(1?2i)(1?2i)5?m?4?0平面对应点如果在第一象限，则?而此不等式组无解.即在复平面上对

?m?1?0应的点不可能位于第一象限.

3.答案：B

解析：（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝2（cosθ）

＝2［cos（θ＋

??＋isin）（cosθ＋isin44??）＋isin（θ＋）］ 44∵θ∈（

?3??5?，π） ∴θ＋∈（，）

4442∴该复数的辐角主值是θ＋4.答案：C 解法一：（－1

解法二：

?． 413?i）3＝（cos60°＋isin60°）3＝cos180°＋isin180°＝221313?i???,????i， 2222∴(?1233i)?(??)3??(?)3??1 25.答案：D 6.答案：D

解法一：z?22(?123??15?i)?22(cos?isin),arg?2??argz? 233z3解法二：z?2(1?3i) ∴

11?3i? z22∴

122?0,?311?0,应在第四象限，tanθ＝?3，θ＝arg．

zz22∴arg

15是π． z355π，argz2＝π 4127.答案：C 解析：∵argz1＝

∴tanθ＝tan

3?35??2?3． ＝tan75°＝tan（45°＋30°）＝

123?38.答案：B

解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是

??13(3?3i)[cos(?)?isin(?)]?(3?3i)(?i)??23i．

33229.答案：C

解法一：采用观察排除法.复数z??3(cos??isin)对应点在第二象限，

55?而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形

式，也可排除，所以选C.

解法二：把复数z??3(cos??isin)直接化为复数的三角形式，即 55??isin)?3[cos(??)?isin(??)]5555

4?4??3(cos?isin).55z?3(?cos10.答案：D 解析：0?argz1??????6,argz2?7?7?23,?argz1?z2??． 441211.答案：A

解析：设z1＝2sinθ＋icosθ＝|z1|（cosα＋isinα）， 其中|z1|＝4sin2??cos2?,cos??2sin?， |z1|sinα＝

cos???（???）． |z1|42∴z2＝|z1|2［cos（α?3?3?）＋isin（α?）］ 44＝r（cos?＋isin?）． ∴

tan

?＝

3?)sin?4?cos??sin??2sin??cos??2tan??1 ?3?cos?cos??sin?2sin??cos?2tan??1cos(??)4sin(??12.答案：D 解法一：∵－i=cos

3?3?+isin 2233??2k???2k??isin2∴－i的三个立方根是cos2（k=0，1，2） 333?当k=0时，cos2?isin33?2?cos??isin??i； 32233??2???2?773122当k=1时，cos?isin?cos??isin????i；

33662233??4???4?111131当k=2时，cos2?isin2?cos??isin???i.

336622故选D.

解法二：由复数开方的几何意义，i与－i的另外两个立方根表示的点均匀地分布在以原点为圆心，1为半径的圆上，于是另外两个立方根的虚部必为－

1,2排除A、B、C，选D.

评述：本题主要考查了复数开方的运算，既可用代数方法求解，也可用几何方法求解，但由题干中的提示，几何法解题较简捷.

13.答案：B

解法一：2?2i?22(cos??isin)， 44?故（2+2i）4=26（cosπ+isinπ）=－26，1－3i?2(cos??isin)，

33?故(1?3i)?5255?5?cos?isin33?26(cos.

于是

(2?2i)?5(1?3i)45?5??isin)33??2(1?3i)?1?3i, 2522所以选B.

16(1?i)41(2i)22???211353213解法二：原式=?25(??i)(??i)??i

222222?4?4(1?3i)???1?3i

41?3i?∴应选B

解法三：2+2i的辐角主值是45°，则（2+2i）4的辐角是180°；1－3i(2?2i)4的一个辐角是－60°，则（1－3i）的辐角是－300°，所以的一个

(1?3i)55

辐角是480°，它在第二象限，从而排除A、C、D，选B. …… 此处隐藏：536字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……