12复数十年高考题（带详细解析）

第十二章 复 数

※

1.（2003京春文7，理3）设复数z1=－1+i，z2=

z13?i，则arg1等于

z222（ ）

A.－π

2.（2003上海春，14）复数z=

71355π B.π C.π D.12121212m?2i（m∈R，i为虚数单位）在复平面上1?2iC.第三象限

D.第四象限

对应的点不可能位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限

※

3.（2002京皖春，4）如果θ∈（

?，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isin2θ）的辐角的主值是（ ）

A.θ＋

9? 4 B.θ＋

? 4

C.θ?? 4 D.θ＋

7? 44．（2002全国，2）复数（

13?i）3的值是（ ） 22A. －i B.i C.－1 D.1

5.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）

图12—1

※

6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝2?6i，则arg

1是（ ） zA.

※

? 6 B.

11? 6 C.

? 3 D.

5? 37.（2000京皖春文，11）设复数z1＝－1－i在复平面上对应向量OZ1，将

5OZ1按顺时针方向旋转π后得到向量OZ2，令OZ2对应的复数z2的辐角主值

6为θ，则tanθ等于（ ）

A.2－3 C.2＋3

※

B.－2＋3 D.－2－3

8.（2000全国，2）在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方

向旋转

?，所得向量对应的复数是（ ） 3

B.－23i D.3+3i

A.23

C.3－3i

※

9.（2000上海理，13）复数z＝?3(cos??isin)（i是虚数单位）的三55?角形式是（ ）

A.3［cos（?????）＋isin（?）］ B.3（cos＋isin） 5555

D.3（cos

C.3（cos

4?4?＋isin） 556?6?＋isin） 5510.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z12z2在复平面内

的对应点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

11.（2000京皖春理，11）设复数z1＝2sinθ＋icosθ（

??＜θ＜)在复42平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转应的复数为z2＝

3π后得到向量OZ2，OZ2对4r（cos?＋isin?），则tan?等于（ ）

A.

2tan?

2tan??1 B.

2tan??1

2tan??1C.

※

1

2tan??1 D.

1

2tan??112.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）

A.

31?i 22 B.?31?i 22D.±

C.±

31?i 22

31?i 22(2?2i)413.（1996全国，4）复数等于（ ） 5(1?3i)A.1+3i C.1－3i

B.－1+3i D.－1－3i

14.（1994上海，16）设复数z=－

13?i（i为虚数单位），则满足等式22zn=z且大于1的正整数n中最小的是（ ）

A.3 B.4 C.6 D.7

15.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）

A.1

B.2

C.2

D.5

二、填空题

16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+z＞2的一个充要条件是z满足 .

17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为 ．

18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝ ．

19.（2001上海春，2）若复数z满足方程zi=i－1（i是虚数单位），则z=_____. 20.（1997上海理，9）已知a=

?3?i（i是虚数单位），那么a4=_____. 1?2i21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）z=4+3i，那么z=_____. 三、解答题

22.（2002上海春，17）已知z、w为复数，（1＋3i）z为纯虚数，w＝且|w|＝52，求w．

z，2?i23.（2002江苏，17）已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2bz＝（a＋2z）2．

24.（2001京皖春，18）已知z7＝1（z∈C且z≠1）. （Ⅰ）证明1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0；

（Ⅱ）设z的辐角为α，求cosα＋cos2α＋cos4α的值. ※

25.（2001全国理，18）已知复数z1＝i（1－i）3. （Ⅰ）求argz1及|z1|；

（Ⅱ）当复数z满足|z|＝1，求|z－z1|的最大值.

26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝．

（Ⅰ）设α是方程x＋

1?2的一个根，试用列举法表示集合Mα； x（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：Mω?Mz．

27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝zn，n∈N｝．

（Ⅰ）设z是方程x+

1=0的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任x取两个数，求其和为零的概率P；

（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．

28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z－m|＝52（m∈R），求z和m的值.

29.（2000上海理，22）已知复数z0＝1－mi（M＞0），z＝x＋yi和ω＝x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω＝z02z，|ω|＝2|z|．

（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式； （Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.

当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； （Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

※

30.（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i22sinθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜

※

?）的最大值以及对应的θ值. 231.（1999上海理，19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实

数根b，且z=a+bi，求复数z（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.

※

32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－icos

θ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.

※

33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z12z2是实数，求复数z2的模.

※

34.（1998上海理，18）已知向量OZ所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，

将OZ绕原点O按顺时针方向旋转数z′+2i的辐角主值.

※

?得OZ1，设OZ1所表示的复数为z′，求复41322??35.（1997全国文，20）已知复数z=i，w=i，求复数zw+zw322221322??i，ω=i.复数z?，2222的模及辐角主值.

36.（1997全国理，20）已知复数z=

z2ω3在复数平面上所对应的点分别是P、Q.证明：△OPQ是等腰直角三角形（其

中O为原点）.

37.（1997上海理，20）设虚数z1，z2满足z12=z2.

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