[考试必备]2018-2019年最新长沙市南雅中学初升高自主招生考试数(3)

来源：网络收集时间：2026-09-05

导读：解析由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2－4ac>0，故①正确．抛物线开口向上，得a>0；又对称轴为直线x＝－ b＝1，b＝－2a 0，②正确．根据图象，可知当x＝－2时，y>0，即4a－2b＋c>0，把b＝－2a代入，

解析由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2－4ac>0，故①正确．抛物线开口向上，得a>0；又对称轴为直线x＝－

b＝1，b＝－2a<0.抛物线交y轴于负半轴，得 2ac<0，所以abc>0，②正确．根据图象，可知当x＝－2时，y>0，即4a－2b＋c>0，把b＝－2a代入，得4a－2(－2a)＋c＝8a＋c>0，故③正确．当x＝－1时，y<0，所以x＝3时，也有y<0，即9a＋3b＋c<0，故④正确．

二．填空题 13.答案 ≠3

解析因为分式有意义，所以3－x≠0，即x≠3. 14.答案 2a(a＋2 2)(a－2 2) 15.答案 9.63310－5

解析 0.0000963＝9.63310－5. 16.答案 105°

解析如图，∵(60°＋∠CAB)＋(45°＋∠ABC)＝180°，∴∠

CAB＋∠ABC＝75°，在△ABC中，得∠C＝105°.

117.答案 m< 2

??2m－1<0，

解析因为直线经过第一、二、四象限，所以?

??3－2m>0，

解

之，得m<. 2

18.答案 n(n＋1)＋4或n2＋n＋4

解析第1个图形有2＋4＝(132＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(233＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(334＋4)个小圆，……第n个图形有[n(n＋1)＋4]个小圆．

三、解答题（本大题7个小题，共90分） 19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）

211

（1）.解：原式＝1＋3 23－＝3. 222

?x＋1??x－1?x2－2x＋1x－1x（2）解：原式＝÷＝2＝

x?x＋1?xx?x－1?2

1. x－1

解方程得x2－2x－2＝0得， x1＝1＋3>0，x2＝1－3<0. 当x＝1＋3时，

113

原式＝＝＝.

1＋3－133

20.（1）.解：由已知得，正五边形周长为5(x2＋17) cm，正六边形周长为6(x2＋2x) cm.

因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．

整理得x2＋12x－85＝0，配方得(x＋6)2＝121，解得x1＝5，x2＝－17(舍去)．

故正五边形的周长为53(52＋17)＝210(cm)．

又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm. 答：这两段铁丝的总长为420 cm.

ab（2）解：如果＋＋2＝ab，那么a＋b＝ab.

baaba2＋b2＋2ab证明：∵＋＋2＝ab，∴＝ab，

baab∴a2＋b2＋2ab＝(ab)2，∴(a＋b)2＝(ab)2， ∵a>0，b>0，a＋b>0，ab>0， ∴a＋b＝ab.

21.解：(1)乙30%；图二略．

(2)甲的票数是：200334%＝68(票)，乙的票数是：200330%＝60(票)，

丙的票数是：200328%＝56(票)，

6832＋9235＋8533

(3)甲的平均成绩：x1＝＝85.1，

2＋5＋3

6032＋9035＋9533

乙的平均成绩：x2＝＝85.5，

2＋5＋3

5632＋9535＋8033

丙的平均成绩：x3＝＝82.7，

2＋5＋3

∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．

k20

22.解：(1)∵双曲线y＝过A(3，)，∴k＝20.

x320

把B(－5，a)代入y＝，得a＝－4.

x∴点B的坐标是(－5，－4). 设直线AB的解析式为y＝mx＋n，

将 A(3，)、B(－5，－4)代入得，

?20

?＝3m＋n，－4＝－5m＋n，?3

解得：m＝，n＝.

∴直线AB的解析式为：y＝x＋.

33(2)四边形CBED是菱形．理由如下：

易求得点D的坐标是(3,0)，点C的坐标是(－2,0)． ∵ BE//x轴， ∴点E的坐标是(0，－4)．而CD＝5, BE＝5, 且BE//CD. ∴四边形CBED是平行四边形. 在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2, ∴ ED＝32＋42＝5，∴ED＝CD. ∴四边形CBED是菱形.

23.解：证明：（1）BF与⊙O相切，连接OB、OA，连接BD， ∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，

∴BD是直径，∴BD过圆心. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D， ∵AD⊥AB，∴∠ABD+∠D=90°， ∵AF=AE，∴∠EBA=∠FBA， ∴∠ABD+∠FBA=90°，

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