复变函数与积分变换 - 图文(7)

(2)设F(p)=F[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F[y′(t)]、F[y″(t)]存在，且y(0)=0， y′(0)=1，求F[y′(t)]、F[y″(t)]；

3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：??y???2y??3y?2e?t（y?(0)?1

?y(0)?0,

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

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全国2006年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.设z=1+2i，则Im z3=（ ） A.-2 B.1 C.8

D.14

2.z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线

D.圆

3.ln(-1)为（ ） A.无定义的 B.0

C.πi

D.(2k+1)πi(k为整数)

4.设z=x+iy,则（1+i）z2的实部为（ ） A.x2-y2+2xy B.x2-y2-2xy C.x2+y2+2xy

D.x2+y2-2xy

5.设z=x+iy，解析函数f(z)的虚部为v=y3-3x2y，则f(z)的实部u可取为（ A.x2-3xy2 B.3xy2-x3 C.3x2y-y3

D.3y3-3x3

6.设C为正向圆周|z|=1，则?dz）

Cz2?（ A.0 B.1 C.πi

D.2πi

7.设C为从-i到i的直线段，则?C|z|dz?（ ）

A.i B.2i

C.-i

D.-2i 8.设C为正向圆周|z|=1，则?sinzz?1dz?（ ）

CeA.2πi·sin 1 B.-2πi C.0

D.2πi

n?9.复数列zn?e2i的极限为（

） A.-1 B.0 C.1

D.不存在

10.以z=0为本性奇点的函数是（ ） A.sinz1z

B.

z(z?1)

C.1?coszz2

D.sin1z

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11.f(z)?1ez?1在z=πi处的泰勒级数的收敛半径为（ ） A.πi B.2πi C.π

D.2π

?设f(z)?zn12.n??0n!，则f(10)(0)为（ ）

A.0 B.

110! C.1

D.10！

eiz13.设函数f(z)?(z2?1)2，则Res[f(z),-i]=（ ） A.0 B.?ie4 C.

ie

D.

e44 14.把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性映射为（ ）

A.w?z?1i(z?1)z?1 B.w?1?z

C.w?z?1i(z?1)1?z D.w?z?1

15.w=ez把带形区域0

B.整个复平面

C.割去负实轴及原点的复平面

D.割去正实轴及原点的复平面

二、填空题（本大题共5小题，每小题2 分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 16.arg(3-i)=___________.

17.对数函数w=ln z的解析区域为___________.

18.设C为正向圆周|z|=1，则积分?1Czdz?___________.

19.设nliman?1???a?1?i，则幂级数anzn的收敛半径为___________.

nn??0n?120.设C为正向圆周|?|?1，则当|z|?1时，f(z)??sin2?C(??z)3d??___________.

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.求方程z3+8=0的所有复根.

22.设u=x2-y2+xy是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f′(z)并将它表示成z的函数形式. 23.设v=eaxsiny，求常数a使v成为调和函数. 24.设C为正向圆周|z|=1，计算积分I??sinzCdz.

(z?1)(z?2)2225.计算积分I??ezC(z?a)3dz，其中C为正向圆周|z|=1，|a|≠1.

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26.(1)求(2)求

1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； z在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式.

1z227.求f(z)=ln z在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径.

1dz，其中C为正向圆周|z|=2. 28.计算积分I?Cz2?(1?i)z?四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中选做一题。每小题10分，共20分）

29.（1）求f(z)?1(z2?1)(z2?4)在上半平面的所有孤立奇点； （2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分I????dx??(x2?1)(x2?4).

30.设D是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射： （1）w1=f(z)把D映射为第Ⅱ象限D1，且f(1)=0； （2）w2=g(w1)把D1映射为第Ⅰ象限D2； （3）w=h(w2)把D2映射为上半平面D3； （4）求把D映射为D3的保角映射w=F(z).

?te?t31.求函数2?(t)?3f(t)的傅氏变换，其中f(t)??,t?0?0,t?0.

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