复变函数与积分变换 - 图文(4)

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C.-1 D.0

11.f(z)=coszz(z?i)2在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ）

A.0 B.1 C.2

D.3

12.z=0为函数cos1z的（ ） A.本性奇点 B.极点 C.可去奇点 D.解析点

13.f(z)=

1(z?2)(z?1)在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ）

?A.?(?1)nzn

B.1?n?0(z?2)zn n??0???C.

(z?2)n D.

nz?2)n?1

n?0?(?1)(n?014.线性变换ω=

i?zz?i（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Imω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1

15.函数f(t)=t的傅氏变换J [f(t)]为（ ） A.δ(ω) B.2πiδ(ω) C.2πi??(ω)

D.??(ω)

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 16.若zπ

1=e1+i,z2=3+i，则z1·z2=________.

17.若cosz=0，则z=________.

18.设f′(z)=

?e?cos ?L(??z)2dζ　　(|z|?5)，L：｜?｜?5，则f(z)?________. ?19.幂级数

?n!zn的收敛半径是________.

n?1nn20.线性映射ω=z是关于________的对称变换. 三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

21.计算复数z=3?27的值.

22.已知调和函数v=arctgyx,x>0，求f′(z)，并将它表示成z的函数形式.

23.设f(z)=x2+axy+by2+i(-x2+2xy+y2)为解析函数，试确定a，b的值.

24.求积分I=?idz的值，其中C：|z|=4为正向.

Cz2?2

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ez25.求积分I=dz的值，其中C：|z|=2为正向.

Ci4(z?)2dz26.利用留数计算积分I=，其中C为正向圆周|z|=1.

Czsinz??27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z的泰勒级数.

228.将函数f(z)=在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.

z?z?2?四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。每小题10分，共20

分) 29．（1）求f(z)=

ziz1?z2e在上半平面的所有孤立奇点；

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；

（3）利用以上结果计算积分I=???xsinx??1?x2dx.

30.设D是Z平面上的带形区域：10； （4）综合以上三步，求把D映射成D3的保角映射ω=f(z). 31.(1)求et的拉氏变换L [e t];

(2)设F（p）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y′(t)]、L [y″(t)]存在，且y(0)=0，y′(0)=0，求L [y′(t)]、L [y″(t)];

?y???2y??y?et(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：?y(0)?0,y(0)?0.

??

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全国2007年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1

D.Im z<0

2.设v(x,y)=eaxsiny是调和函数，则常数a=（ ） A.0 B.1 C.2

D.3

3.设f(z)=z3+8iz+4i，则f′(1-i)=（ ） A.-2i B.2i C.-2

D.2

4.设C为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分

?dzCz2?a2=（ ）

A.??i2a B. ??ia

C. ?i2a

D. ?ia

5.设C为正向圆周|z-1|=1，则?z3C(z?1)5dz?（ ）

A.0 B.πi C.2πi D.6πi

6.f(z)=11?z2在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（ ） A.

32 B.1 C.2

D.3

7.下列级数中绝对收敛的是（ ）

??(3?4i)n?nA.

B. n?1n!?(1?3i)

n?12??n?C. i

D.

?(1?i)n

n?1nn?1n?18.可以使f(z)=

1z(z?3)3在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（ A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞ C. 0<|z-2|<2

D. 0<|z-2|<+∞

9.点z=-1是f(z)=(z+1)5sin

1(z?1)的（ ）

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A.可去奇点 C.五阶零点

B.二阶极点 D.本性奇点

10.设C为正向圆周|z|=1，则cotzdz?（ ）

c?A.-2πi C. -2π

B. 2πi D. 2π

二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.arg (-1+3i)= . 12.已知f(z)=u+iv是解析函数，其中u=13.设C为正向圆周|z|=1,则

1?vln(x2?y2),则? . 2?y?ez2?c?2dz? . i14.z=0是f(z)=15. f(z)=

ln(1?z)的奇点，其类型为 . z1在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 . z?z211nn??1?(z?1)???(?1)(z?1)??,则Res[f(z),1]= . 16.设f(z)=2(z?1)(z?1)

三、计算题（本大题共8小题，共52分）

17．（本题6分）求z=（-1+i）6 的共轭复数z及共轭复数的模|z|. 18．(本题6分) 设t为实参数，求曲线z=reit+3 (0≤t＜2π的直角坐标方程. 19．(本题6分) 设C为正向圆周|z|=1，求I=zec1?z2dz.

20．(本题6分) 求f(z)?1在z=0处的泰勒展开式.

(z?1)(z?2)21．(本题7分) 求方程sin z+cos z=0 的全部根.

22．(本题7分) 设u=e2xcos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z). 23．(本题7分) 设C为正向圆周|z-i|=

1dz,求I=?.

cz(z2?1)2ez24．(本题7分)设C为正向圆周|z|=1，求I=?5dz.

Cz

四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分） 25．（1）求f(z)=

z

在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型； 2

z?1

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（2）求f(z)eiz在以上奇点的留数； （3）利用以上结果，求I=

???xsinx??x2?1dx.

26．设D为Z平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射： （1）w1=f1(z)把D映射成W1平面的上半单位圆盘D1； （2）w=f2(w1)把D1映射成W平面的第一象限； （3）w=f(z)把D映射成W平面的第一象限. 27．求函数3f(t)+2sint的付氏变换，

其中 f(t)=??1,|t|?1?0,|t|?1 .

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