2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数(4)

当x??且x趋近于?时,h(x)趋向于?? 当x??且x趋近于?时,h(x)趋向于?? 当x?2?且x趋近于2?时,h(x)趋向于??

故当a?1时,直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有无交点,在(?,2?)内有2个交点; 当a??1时,直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点,在(?,2?)内无交点; 当?1?a?1时,直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点,在(?,2?)内有2个交点

由函数h(x)的周期性,可知当a??1时,直线y?a与曲线y?h(x)在(0,n?)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y?a与曲线y?h(x)在(0,n?)内恰有2013个交点;当a??1时,直线y?a与曲线

y?h(x)在(0,?)U(?,2?)内有3个交点,由周期性,2013?3?671,所以n?671?2?1342

综上,当a??1,n?1342时,函数F(x)?f(x)?ag(x)在(0,n?)内恰有2013个零点

38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分14分.已知

??a＝(cos?,s?in，b)?(?cos?,s,i0n??????.

????????(1)若|a?b|?2,求证:a?b;(2)设c?(0,1),若a?b?c,求?,?的值.

【答案】解:(1)∵|a?b|?2222 ∴|a?b|2?2 即a?b?a?2ab?b?2,

22??222222又∵a?|a|?cos??sin??1,b?|b|?cos??sin??1∴2?2ab?2∴ab?0∴a?b

?cos??cos??0?cos???cos?(2)∵a?b?(cos??cos?,sin??sin?)?(0,1) ∴?即?

sin??sin??1sin??1?sin???两边分别平方再相加得:1?2?2sin? ∴sin??11 ∴sin?? ∵0?????? ∴22???,???

39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知函数

5616???f(x)?2cos?x??,x?R.

?12?(Ⅰ) 求f??

3????3??cos??的值; (Ⅱ) 若,??,2????,求

562???????f?2???.

3??

【答案】(Ⅰ)

???????????f????2cos?????2cos????2cos?1;

4?6??612??4?(Ⅱ) f?2??????????????2cos2????2cos2????????cos2??sin2? 3?3124????因为cos??34?3??,???,2??,所以sin???, 55?2?24722,cos2??cos??sin??? 2525所以sin2??2sin?cos???所以f?2????7?24?17???cos2??sin2????????. ?25?25?253?40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数f(x)?sin(x???x)?cos(x?).g(x)?2sin2. 632(I)若?是第一象限角,且f(?)?33.求g(?)的值; 5(II)求使f(x)?g(x)成立的x的取值集合.

【答案】解: (I)f(x)?311333. sinx?cosx?cosx?sinx?3sinx?f(?)?3sin??222253?4?1?sin??,??(0,)?cos??,且g(?)?2sin2?1?cos??

52525(II)f(x)?g(x)?3sinx?1?cosx?31?1sinx?cosx?sin(x?)? 2262?x??6?[2k???6,2k??5?2?]?x?[2k?,2k??],k?Z 6341．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至

C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲.乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车

到B,在B处停留1min后,再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为

1260m,经测量,cosA?(1)求索道AB的长;

123,cosC?. 135(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

A

B C

【答案】解:(1)∵cosA?

123,cosC? 135?54（0，）∴A、C?∴sinA?,sinC?

2135??sin（A?C）（A?C）?sinAcosC?cosAsinC?∴sinB?sin???根据

63 65ABACAC?sinC?1040m 得AB?sinCsinBsinB222(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则d?(130t)?(100?50t)?2?130t?(100?50t)?∴d2?200(37t2?70t?50)

12 131040即0?t?8 1303535∴t?时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.

3737∵0?t?(3)由正弦定理

AC12605BCACsinA??500(m) ?得BC?6313sinAsinBsinB65乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V m/min,则

500710??3 v50∴?3?5007101250625??3∴?v? v504314∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在?法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m.

(2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点,如图所示.

?1250625?范围内 ,??4314?

则:AM=130x,AN=50(x+2),

由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 35

其中0≤x≤8,当x= (min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.

371260126

(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时: = (min).

505

12614186

若甲等乙3分钟,则乙到C用时: +3= (min),在BC上用时: (min) .

555861250

此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min.

543

12611156

若乙等甲3分钟,则乙到C用时: -3= (min),在BC上用时: (min) .

55556625

此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/min.

5141250625

故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内.

4314

M B D C

N A

42．（2013年高考湖北卷（理））在?ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知

cos2A?3cos?B?C??1.

(I)求角A的大小;

(II)若?ABC的面积S?53,b?5,求sinBsinC的值.

【答案】解:(I)由已知条件得:cos2A?3cosA?1

?2cos2A?3cosA?2?0,解得cosA?1,角A?60? 2a2122?28 (II)S?bcsinA?53?c?4,由余弦定理得:a?21,?2R??2sin2A?sinBsinC?bc5? 24R743．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC在内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

已知a?bcosC?csinB. (Ⅰ)求B;

(Ⅱ)若b?2,求△ABC面积的最大值.