2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数(2)

由题意得

30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）已知函数

???f(x)??2sin?2x???6sinxcosx?2cos2x?1,x?R.

4??(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; ???(Ⅱ) 求f(x)在区间?0,?上的最大值和最小值.

?2?【答案】

31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）设向量

a?????3sinx,sinx,b??cosx,sinx?,x??0,?.

?2??(I)若a?b.求x的值； (II)设函数f?x??a?b,求f?x?的最大值.

【答案】

32．（2013年高考上海卷（理））已知函数f(x)?2sin(?x),其中常数??0;

(1)若y?f(x)在[??2?4,3]上单调递增,求?的取值范围;

(2)令??2,将函数y?f(x)的图像向左平移

?个单位,再向上平移1个单位,得到函数y?g(x)的图像,区6

间[a,b](a,b?R且a?b)满足:y?g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b?a的最小值.

【答案】(1)因为??0,根据题意有

????????3?42?0??? ?4?2?????2?3(2) f(x)?2sin(2x),g(x)?2sin(2(x?))?1?2sin(2x?)?1

63?1?7g(x)?0?sin(2x?)???x?k??或x?k???,k?Z,

32312?2?即g(x)的零点相离间隔依次为和,

332??43??15??故若y?g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b?a的最小值为14?. 33333．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））设?ABC的内角A,B,C的对边分别为

??a,b,c,(a?b?c)(a?b?c)?ac.

(I)求B

(II)若sinAsinC?【答案】

3?1,求C. 4

34．（2013年高考四川卷（理））在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

A?B3cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?C)??. 25(Ⅰ)求cosA的值;

????????(Ⅱ)若a?42,b?5,求向量BA在BC方向上的投影.

32A?BcosB?sin?A?B?sinB?cos?A?C???,得 【答案】解:???由2cos253cosA?B?1cosB?sinA?BsinB?cosB????, ??????53即cos?A?B?cosB?sin?A?B?sinB??,

533则cos?A?B?B???,即cosA??

5534????由cosA??5,0?A??,得sinA?5, 2cos2由正弦定理,有

abbsinA2?,所以,sinB?. ?sinAsinBa2由题知a?b,则A?B,故B?根据余弦定理,有42?4.

??2?3??52?c2?2?5c????,

?5?解得c?1或c??7(舍去).

????????????2故向量BA在BC方向上的投影为BAcosB?

235．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

且a?c?6,b?2,cosB?7. 9(Ⅰ)求a,c的值; (Ⅱ)求sin(A?B)的值.

【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理b?a?c?2accosB,得

222b2??a?c??2ac(1?cosB)2,

又a?c?6,b?2,

cosB?79,所以ac?9,解得a?3,c?3.

(Ⅱ)在△ABC中,

sinB?1?cos2B?429,

sinA?由正弦定理得

asinB22?b3,

因为a?c,所以A为锐角,所以

cosA?1?sin2A?13

sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?因此

10227.

36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知函数

???f(x)?4cos?x?sin??x??(??0)的最小正周期为?.

4??(Ⅰ)求?的值; (Ⅱ)讨论f(x)在区间?0,2?上的单调性.

【答案】解: (Ⅰ)?22cos?x(sin?x?cos?x)?2(sin2?x?cos2?x?1)?2sin(2?x??4)?2

?2???????1.所以f(x)?2sin(2x?)?2,??1 2?4(Ⅱ) 当x?[0,?2]时，(2x???所以y?f(x)在[0,]上单调递增；在[，]上单调递减.

882)?[,??]，令2x??解得x?；

444428???????37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)的周期为?,图像的一个对称中心为(标不变),在将所得图像向右平移

?4,0),将函数f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐

?2个单位长度后得到函数g(x)的图像.

(1)求函数f(x)与g(x)的解析式; (2)是否存在x0?(??,),使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个

64数;若不存在,说明理由

(3)求实数a与正整数n,使得F(x)?f(x)?ag(x)在(0,n?)内恰有2013个零点.

【答案】解:(Ⅰ)由函数f(x)?sin(?x??)的周期为?,??0,得??2

又曲线y?f(x)的一个对称中心为(故f()?sin(2??4,0),??(0,?)

,所以f(x)?cos2x

??44??)?0,得???2将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y?cosx的图象,再将

y?cosx的图象向右平移

?2个单位长度后得到函数g(x)?sinx