2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数(3)

(Ⅱ)当x?(??121,0?cos2x? ,)时,?sinx?22642所以sinx?cos2x?sinxcos2x

问题转化为方程2cos2x?sinx?sinxcos2x在(设G(x)?sinx?sinxcos2x?2cos2x,x?(??,)内是否有解

64??,) 64则G?(x)?cosx?cosxcos2x?2sin2x(2?sinx) 因为x?(??,),所以G?(x)?0,G(x)在(,)内单调递增 6464??又G()???6?21?0 ?0,G()?424??,)内存在唯一零点x0,

64且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(即存在唯一的x0?(??,)满足题意 64(Ⅲ)依题意,F(x)?asinx?cos2x,令F(x)?asinx?cos2x?0

当sinx?0,即x?k?(k?Z)时,cos2x?1,从而x?k?(k?Z)不是方程F(x)?0的解,所以方程

F(x)?0等价于关于x的方程a??cos2x,x?k?(k?Z) sinx现研究x?(0,?)U(?,2?)时方程解的情况 令h(x)??cos2x,x?(0,?)U(?,2?) sinx则问题转化为研究直线y?a与曲线y?h(x)在x?(0,?)U(?,2?)的交点情况

cosx(2sin2x?1)?3??,令,得或 h?(x)?x?x?h(x)?0sin2x22当x变化时,h(x)和h?(x)变化情况如下表

x h?(x) h(x) (0,) 2? Z ??20 (,?) 2? ] ?(?,? ] 3?) 23? 20 ?1 (3?,2?) 2? Z 当x?0且x趋近于0时,h(x)趋向于??