数学建模作业（小论文）

哈尔滨工业大学

数学建模论文 姓名：贺丹 学号： 学院: 时间：

H100311101

2011年11月日

计算机 3

线性规划、最优化方法及多元回归分析方法在数学建模中的

应用

摘 要

本文针对所给的三个题目作出了详细的解答。

问题一属于线性规划类问题。我们通过对题目的分析，分别对信用等级、到期年限、到期税前收益和各种政策等作出合理的假设，用线性规划方法列出目标函数和约束条件，在Lingo9.0中进一步求解，模型有一下特色：对于第一问和第二问，得到了全局最优解，而不是局部最优解；模型假设较为合理，没有超出实际之外很多的不合理假设；对于每一个参变量作出全面的灵敏度分析，能够得到模型的普适范围；所求模型具有一般性，对于外部因素影响下的条件变化，可以方便及时地作出调整。

我们得到如下结果，并且在最后作出模型的改进求解出第三问。

1、当该经理有1000万元的资金时，应当分别向A、C、E证券投资218.1818万元、736.3636万元、45.45455万元，最大收益为29.83636万元。

2、在上述计算过程中，得到总资金的影子价格（对偶价格）为0.0298，而收益的增加率大于贷款利息率2.75％，因此，可以贷款并按相同的目标函数和约束条件进行继续投资。但是由灵敏度分析可知，借贷总资金的上界不能超过456.7901元。

3、当证券A的税前收益增加为4.5％，则增加了0.002，而在灵敏度分析中证券A的税前收益的最大变化为0.0035，0.002<0.0035，因此投资方按不需要做变化。当证券C的税前收益减少为4.8％时，也就是减少了0.002，根据灵敏度分析的结果可知，C的税前收益减少不超过0.00056，因此需要调整投资方案为对A、B、C、D、E的投资额分别为336万元、0万元、0万元、648万元、16万元，获得的最大利润为29.424万元。

问题二属于最优化方法类问题。我们通过对题目的理解，对飞行员的四种状态和飞机进一步分析，假设闲置的飞机数、闲置的飞行员数、教练和新飞行员数、新购买的飞机数为参变量，以甲方所发薪水最小值建立最优化模型，并在Lingo9.0中求解。我们的模型有以下特点：我们完整的建立了一个最优化模型，并且为甲方制定出了详细的飞行计划，这一计划切实可行，且耗费的资金较低。

我们的最后解答为：

对于第一问的飞行计划为： 月份 第一个月 第二个月 第三个月 第四个月 内容 购买的新飞机60 30 80 0 数 闲置的飞机数 教练和新飞行员数 10 460 0 220 0 240 0 0 闲置的飞行员7 数 对于第二问的飞行计划为： 月 内 容 份 6 4 4 第一个月 第二个月 第三个月 第四个月 购买的新飞机数 闲置的飞机数 教练数 新飞行员数 60 10 22 431 30 0 11 211 80 0 12 228 0 0 0 0 闲置的飞行8 0 0 0 员数 进而我们在模型改进中给出了普适的最优化方法模型。

问题三属于多元回归分析类的问题。我们在分析问题之后，分别以病痛减轻时间为用药量、性别和血压组别的函数，作出函数图象，看出非一元回归。

首先利用多元线性回归方法在Matlab6.5中求解回归系数，并用预测值与实验值作比较，发现两者相差较大，且计算r2为0.755，作出残差图之后发现有两个异常点，预测不是很理想。

进而我们利用完全二次回归，改进模型使得r2为0.941，且计算的预测值与实验值比较接近，在残差图中只有一个异常点。

在最后的模型评价和改进中，我们将第二十三个点去掉，重新用完全二次回归求解，将r2增大到0.97，能够更好的符合实际测量值。

关键字

线性规划、最优化方法、多元线性回归、多元完全二次回归、相关系数、残差分

析、置信区间、灵敏度分析、影子价格。

1 问题重述

1.1投资问题

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税。此外还有以下限制：

1) 政府及代办机构的证券总共至少购进400万元；

2) 所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越

高）；

3) 所购证券的平均到期年限不超过5年。

投资的证券种类、信用等级、到期年限及到期税前收益如下表：

证券名称 A B C D E 证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益（%） 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 我们将要解决以下问题：

（1） 在总资金1000万元的约束下，试确定能够获得最大收益的投资方案。 （2） 在偿还利息为2.75％的条件下向外部再借贷不超过100万元时，试确定能够获得最大受益的投资方案。 （3） 在总资金1000万元的约束下，分别在证券A的税前收益增加为4.5％

和证券C的税前收益减少为4.8％的条件下，重新确定投资方案。

1.2飞行计划问题

在甲乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员），可以运送10万吨物资。每架飞机每个月只能飞行1次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有20％的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。 在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员（包括他自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。

各项费用（单位略去）如下表所示：

新飞机价格 闲置的熟练飞行员报酬 教练和新飞行员报酬（包括培训费用） 执行飞行任务的熟练飞行员报酬 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 200.0 7.0 10.0 9.0 195.0 6.9 9.9 8.9 190.0 6.8 9.8 9.8 185.0 6.7 9.7 9.7 休假期间的熟练飞行员报酬 5.0 4.9 4.8 4.7 试解决以下问题： 1、在上述条件下，为甲方安排飞行计划，使其在满足战争装备和人员需求的前提下，使使用费用最低。

2、如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员（包括他自己在内）进行训练，建立新的模型并求解。

1.3时间预测问题

一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物实验，给24名患有同种病痛的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2g，5g，7g和10g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）。为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试。通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75。实验结束后，

公司的实验记录结果如下表（性别以0表示女，1表示男）：

病人序号 病痛减轻时间（min） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 43 55 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 用药剂量（g） 性别 血压组别 2 2 2 2 2 2 5 5 5 …… 此处隐藏：1621字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……