2016年苏州市中考数学试题解析版(7)

∵E是的中点， ∴∠ADE=∠EAB， ∴△AEG∽△DEA， ∴

=

，

即EG?ED=AE2=18．

27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为

；

）．

（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．

【考点】圆的综合题． 【分析】（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．

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（2）由△QTM∽△BCD，得=列出方程即可解决．

（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．

②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得

=

，列出方程即可解决问题．利用反证

法证明直线PM不可能由⊙O相切． 【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8， ∴BD=

=

=10，

∵PQ⊥BD，

∴∠BPQ=90°=∠C， ∵∠PBQ=∠DBC， ∴△PBQ∽△CBD， ∴==， ∴

=

=

，

∴PQ=3t，BQ=5t，

∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC， ∴QP=QC， ∴3t=6﹣5t， ∴t=， 故答案为

．

（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T． ∵MC=MQ，MT⊥CQ， ∴TC=TQ，

由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t， ∵MQ∥BD，

∴∠MQT=∠DBC，

∵∠MTQ=∠BCD=90°， ∴△QTM∽△BCD， ∴

=

，

∴=，

∴t=（s），

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∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．

（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E， ∵EQ∥BD， ∴

=

，

（8﹣5t）=

t，

∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣∵DO=3t， ∴DE﹣DO=

t﹣3t=t＞0，

∴点O在直线QM左侧．

②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．

∵EC=（8﹣5t），DO=3t， ∴OE=6﹣3t﹣

（8﹣5t）=t，

∵OH⊥MQ， ∴∠OHE=90°， ∵∠HEO=∠CEQ，

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD， ∵∠OHE=∠C=90°， ∴△OHE∽△BCD， ∴

=

，

∴=，

∴t=．

∴t=s时，⊙O与直线QM相切．

连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°， 在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°， ∴∠OFH=∠FOH=45°， ∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8，

+1）∴MH=0.8（， 由由

==

得到HE=， 得到EQ=，

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∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣∴0.8（

+1）≠

﹣=，

，矛盾，

∴假设不成立．

∴直线MQ与⊙O不相切．

28．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B． （1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．

①写出点M′的坐标；

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②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；

（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为

DM?OB，

设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3； （3）①由（2）可知m=

，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；

②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值． 【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3， ∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4， ∴3=a+4， ∴a=﹣1，

∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3， ∴0=﹣x2+2x+3， ∴x=﹣1或3，

∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3， ∵M在抛物线上，且在第一象限内， ∴0＜m＜3，

过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D， 由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，

∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，

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