2014届数学试题选编12：等差数列及其前n项和（教师版） Word版含(4)

????⑴若对任意的n?N?,a2n-1,a2n+1,a2n组成公差为4的等差数列,且a1=1,

S2n?2013,求2nn的值;

⑵若数列{Sn+a}是公比为q(q??1)的等比数列,a为常数,求证:数列{an}为等比数列an1的充要条件为q=1+.

a【答案】⑴因为a2n?1,a2n?1,a2n成公差为4的等差数列,

所以a2n?1?a2n?1?4,a2n?a2n?1?（8n?N?), 所以a1,a3,a5,,a2n?1,a2n?1是公差为4的等差数列,且

a2?a4?a6??a2n?a1?a3?a5??a2n?1?8n,

又因为a1?1,所以S2n?2?a1?a3?a5??a2n?1??8n

?2[n+所以

n(n?1)?4]+8n?4n2+6n?2n(2n+3), 2S2n?2n+3?2013,所以n?1005 2nSn?a?(a?1)qn?1,所以Sn?(a?1)qn?1an?aan, ① an⑵因为

所以Sn?1?(a?1)qnan?1?aan?1, ②

②-①,得(a?1)(1?qn)an?1?[a?(a?1)qn?1]an, ③

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(ⅰ)充分性:因为q?1?1,所以a?0,q?1,a?1?aq,代入③式,得 aq(1?qn)an?1?(1?qn)an,因为q??1,又q?1,

所以

an?11?,n?N*,所以?an?为等比数列, anq(ⅱ)必要性:设?an?的公比为q0,则由③得(a?1)(1?qn)q0?a?(a?1)qn?1,

1整理得?a?1?q0?a??a?1?(q0?)qn,

q此式为关于n的恒等式,若q?1,则左边?0,右边??1,矛盾;

）q0?a,?(a?1?1若q??1,当且仅当?1时成立,所以q?1?.

）q0?(a?1)a?(a?1q?1由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{an}为等比数列的充要条件为q=1+

a20（．江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知各项均为正数的数列?an?2前n项的和为Sn,数列an的前n项的和为Tn,且

???Sn?2?2?3Tn?4,n?N*.

⑴证明数列?an?是等比数列,并写出通项公式; ⑵若Sn2??Tn?0对n?N恒成立,求?的最小值; ⑶若an,2xan?1,2yan?2成等差数列,求正整数x,y的值.

【答案】(1)因为(Sn?2)2?3Tn?4,其中Sn是数列{an}的前n项和,Tn是数列{an}的

2*前n项和,且an?0,

当n?1时,由(a1?2)2?3a12?4,解得a1?1, 当n?2时,由(1?a2?2)2?3(1?a22)?4,解得a2?221; 4分 2由(Sn?2)?3Tn?4,知(Sn?1?2)?3Tn?1?4,两式相减得

2(Sn?1?Sn)(Sn?1?Sn?4)?3an?1?0,即(Sn?1?Sn?4)?3an?1?0,

亦即2Sn?1?Sn?2,从而2Sn?Sn?1?2,(n≥2),再次相减得

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1a11an?1?an,(n≥2),又a2?a1,所以n?1?,(n≥1)

an222所以数列{an}是首项为1,公比为其通项公式为an?1的等比数列, 212n?1 n?N*

nn?1?1??1???1???n??1?n?2?4??1??4????2?1????,Tn?(2)由(1)可得Sn???1????,

113???4??????2???1?1?42若Sn??Tn?0对n?N恒成立,

2*S只需??nTn2?1?1???62*对n?N恒成立, ?3??n?3?n2?1?1?1????2?n因为3?6?3对n?N*恒成立,所以?≥3,即?的最小值为3; n2?1xy2x2y(3)若an,2an?1,2an?2成等差数列,其中x,y为正整数,则n?1,n,n?1成等差数

2221列,

整理得2?1?2xy?2,

当y?2时,等式右边为大于2的奇数,等式左边是偶数或1,等式不能成立, 所以满足条件的x,y值为x?1,y?2

21．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知数列

?an?中,a1?2,a2?3,其前n项和Sn满足Sn?1?Sn?1?2Sn?1,其中n≥2,n?N*. (1)求证;数列?an?为等差数列,并求其通项公式;

(2)设bn?an?2?n,Tn为数列?bn?的前n项和,求使Tn>2的n的取值范围.

(3)设cn?4n?(?1)n?1??2n(?为非零整数,n?N*),试确定?的值,使得对任意

an?N*,都有cn?1?cn成立.

【答案】解:(1)由已知,

?Sn?1?Sn???Sn?Sn?1??1(n≥2,n?N*),

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即an?1?an?1(n≥2,n?N*),且a2?a1?1. ∴数列?an?是以a1?2为首项,公差为1的等差数列. ∴an?n?1

(2) ∵an?n?1,∴bn?(n?1)?1 2n1111?Tn?2??3?2?L?n?n?1?(n?1)?n...........(1)2222

11111Tn?2?2?3?3?????n?n?(n?1)n?1..........(2)2222211111(1)?(2)得：Tn?1?2?3?L?n?(n?1)?n?1

22222n?3∴ Tn ?3?n

2n?3n?3代入不等式得:3?n?2，即n?1?0

22n?3n?2设f(n)??1,则f(n?1)?f(n)???0

2n2n?1∴f(n)在N?上单调递减, ∵f(1)?1?0,f(2)?11?0,f(3)???0, 44∴当n=1,n=2时,f(n)?0,当n≥3时，f(n)?0, 所以n的取值范围.为

n≥3,且n?N?

(3)Qan?n?1,?cn?4n?(?1)n?1?2n?1,要使cn?1?cn恒成立, 即cn?1?cn?4n?1?4n?(?1)n?2n?2?(?1)n?1?2n?1?0恒成立,

?3?4n?3(?1)n?1?2n?1?0恒成立,∴(?1)n?1??2n?1恒成立,

(i)当n为奇数时,即??2n?1恒成立,当且仅当n?1时,2n?1n?1有最小值为1,???1.

n?1(ii)当n为偶数时,即???2恒成立,当且仅当n?2时,?2有最大值?2,

????2.即?2???1,又?为非零整数,则???1

?综上所述:存在???1,使得对任意的n?N,都有cn?1?cn

22．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知等差数列{an}的首项a1为a(a?R,a?0).

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设数列的前n项和为Sn ,且对任意正整数n都有

a2n4n?1. ?an2n?1(1) 求数列{an}的通项公式及Sn ;

(2) 是否存在正整数n和k,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.

【答案】

23．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.设{an}是首项为a,公差为d的等差数列

(d?0),Sn是其前n项和.记bn?nSn*,n?N,其中c为实数. 2n?c(1)若c?0,且b1，b2，b4成等比数列,证明:Snk?n2Sk(k,n?N*); (2)若{bn}是等差数列,证明:c?0.

【答案】本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化

能力及推理论证能力.

证明:∵{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d?0),Sn是其前n项和 ∴Sn?na?n(n?1)d 2(1)∵c?0 ∴bn?Snn?1?a?d n215