2014届数学试题选编12：等差数列及其前n项和（教师版） Word版含(2)

数学附加题

14．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知数列

?an?的前n项和为Sn, 且

a1?a5?17.

(1)若

?an?为等差数列, 且S8?56.

①求该等差数列的公差d;

nbn??b?3?an,则当n为何值时,bn最大?请说明理由; n②设数列满足

(2)若

?an?还同时满足: ①?an?为等比数列;②a2a4?16;③对任意的正整数k,存在

?an?的通项公式.

自然数m,使得Sk?2、Sk、Sm依次成等差数列,试求数列

【答案】解: (1)①由题意,得

?2a1?4d?17??8a1?28d?56 解得d??14分

②由①知因

a1?212323an??nbn?3n?an?3n?(?n)2,所以22,则

为

bn?1?bn?3n?1?所以

2?n?2n?2?n?3n?2?n??n??22n??n

(1b11?b10,且当n?10时, ?bn?单调递增,当n?11时,?bn?单调递减,

bn最大

故当n?10或n?11时,

?a1?1?a?16an?aa?aa?16a?a?17?155(2)因为是等比数列,则24,又1,所以?5或

?a1?16??a5?1

从而

an?2或an?(?2)n?1n?111an?16?()n?1an?16?(?)n?122或或.

又因为Sk?2、Sk、Sm依次成等差数列,得2Sk?Sk?2?Sm,而公比q?1,

a1(1?qk)a1(1?qk?2)a1(1?qm)2??kk?2m2m?k2q?q?q2?q?q1?q1?q1?q所以,即,从而 (*)

6

n?1a?2n当时, (*)式不成立; n?1a?(?2)n当时,解得m?k?1;

1an?16?()n?12当时, (*)式不成立; 1an?16?(?)n?12当时, (*)式不成立.

n?1a?(?2)n综上所述,满足条件的

15．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{an}是等差数

列,a1?a2?a3?15,数列{bn}是等比数列,b1b2b3?27. (1)若a1?b2,a4?b3.求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)若a1?b1,a2?b2,a3?b3是正整数且成等比数列,求a3的最大值.

【答案】解:(1)由题得a2?5,b2?3,所以a1?b2?3,从而等差数列{an}的公差d?2,

所以an?2n?1,从而b3?a4?9,所以bn?3n?1

(2)设等差数列{an}的公差为d,等比数列?bn?的公比为q,则a1?5?d,b1?3,a3?5?d,b3?3q. q因为a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列,所以(a1?b1)?(a3?b3)?(a2?b2)2?64. 设??a1?b1?m,m,n?N*,mn?64,

?a3?b3?n3??5?d??mq则?,整理得,d2?(m?n)d?5(m?n)?80?0.

?5?d?3q?n?n?m?(m?n?10)2?36解得d?(舍去负根).

2a3?5?d,?要使得a3最大,即需要d最大,即n?m及(m?n?10)取最大

2值.m,n?N*,mn?64,

7

?当且仅当n?64且m?1时,n?m及(m?n?10)取最大值.

2从而最大的d?63?761, 273?761 2所以,最大的a3?16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知数列

{an}满足:a数列b{}ba1?1,a2?a(a?0),n满足n?an?n2(n?*N )(1)若{an}是等差数列,且b3?45,求a的值及{an}的通项公式; (2)若{an}的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.

【答案】解 (1)因为?an?是等差数列,d?a?1,an?1?n(a?1),

[1?2(a?1)][1?4(a?1)]?45,解得a?3或a??7(舍去), 4an?2n?1

(2)因为?an?是等比数列,q?a,an?an?1,bn?a2n 当a?1时,bn?1,Sn?n;

a2(1?a2n)当a?1时, Sn?

1?a217．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若数列

nbn??S?3?t. nn公差为6的等差数列;数列的前项和为

?an?是首项为6?12t,

(1)求数列(2)若数列使得

?an?和?bn?的通项公式;

?bn?是等比数列, 试证明: 对于任意的n(n?N,n?1), 均存在正整数cn,

, 并求数列

bn?1?acn?cn?的前n项和Tn;

(3)设数列

?dn?满足dn?an?bn, 且?dn?中不存在这样的项dk, 使得“dk?dk?1与

dk?dk?1”同时成立(其中k?2, k?N?), 试求实数的取值范围.

【答案】解: (1)因为

?an?是等差数列,所以an?(6?12t)?6(n?1)?6n?12t

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而数列

?bn?的前

nnS?3?t,所以当n?2时, n项和为

bn?(3n?1)?(3n?1?1)?2?3n?1,

n?1?3?t,bn??n?12?3,n?2 b?S?3?t?1又1,所以

(2)证明:因为

?bn?是等比数列,所以3?t?2?31?1?2,即t?1,所以an?6n?12

nn?1n?1b?2?3?6?3?6?(3?2)?12, n(n?N,n?1)n?1对任意的,由于

n?1n?1*a?6(2?3)?12?bn?1c?3?2?N令n,则cn,所以命题成立

1?3n1n1T?2n???3?2n?n?c?1?322 数列n的前n项和

?6(3?t)(1?2t),n?1dn??4(n?2t)3n,n?2?(3)易得,

3?8[n?(2t?)]?3nn?1n2由于当n?2时, dn?1?dn?4(n?1?2t)3?4(n?2t)3,所

以

①若

2t?37?2t?24,则dn?1?dn,所以当n?2时,?dn?是递增数列,故由题意得 ,即

?5?97?5?977?t??d1?d2,即6(3?t)(1?2t)?36(2?2t),解得444,

2?2t?379?3?t?24,则当n?3时,?dn?是递增数列,, ,即4t?74

②若

234(2t?2)3?4(2t?3)3d?d23故由题意得,即,解得

③若

m?2t?3m3m5?m?1(m?N,m?3)??t??(m?N,m?3)224,即24,

则当2?n?m时,

?dn?是递减数列, 当n?m?1时,?dn?是递增数列,

m则由题意,得dm?dm?1,即4(2t?m)3?4(2t?m?1)3m?1,解得

t?2m?34

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?5?97?5?972m?3?t?t?444(m?N,m?2) 综上所述,的取值范围是或18．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）设

fk(n)?c0?c1n?c2n2?????cknk?k?N?,其中c0,c1,c2,???,ck为非零常数, 数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意的正整数n,an+Sn=fk(n). (1)若k=0,求证:数列{an}是等比数列;

(2)试确定所有的自然数k,使得数列{an}能成等差数列.

【答案】【证】(1)若k?0,则fk(n)即f0(n)为常数,不妨设f0(n)?c(c为常数).

因为an?Sn?fk(n)恒成立,所以a1?S1?c,即c?2a1?2. 而且当n≥2时,an?Sn?2, ① an?1?Sn?1?2, ②

①-②得 2an?an?1?0(n?N，n≥2).

若an=0,则an?1=0,,a1=0,与已知矛盾,所以an?0(n?N*). 故数列{an}是首项为1,公比为1的等比数列.

2【解】(2)(i) 若k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k=1,设f1(n)?bn?c(b,c为常数), 当n≥2时,an?Sn?bn?c, ③ an?1?Sn?1?b(n?1)?c, ④

③-④得 2an?an?1?b(n?N，n≥2).要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有an?b?d(常数),

而a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为an =1n?N*,

故当k=1时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an =1n?N*,此时f1(n)?n?1. (iii) 若k=2,设f2(n)?an2?bn?c(a?0,a,b,c是常数), 当n≥2时,an?Sn?an2?bn?c, ⑤

????an?1?Sn?1?a(n?1)2?b(n?1)?c, ⑥

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