高中物理竞赛的数学基础(8)

5.3不定积分及其运算

在证明了上述定积分的基本定理之后，我们就可以着手解决积分的运算问题了。根据上述定理，只要我们求得函数Ф(x)的表达式，利用(A.53)式立即可以算出定积分

去求Ф(x)的表达式呢？上述定理告诉我们，Ф′(x)=f(x)，所以这就相当于问f(x)是什么函数的导数。由此可见，积分运算是求导的逆运算。如果f(x)是Ф(x)的导数，我们可以称Ф(x)是f(x)的逆导数或原函数。求f(x)的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数。

在上节里我们讲了一些求导数的公式和定理，常见的函数我们都可以按照一定的法则把它们的导数求出来。然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易，而需要靠判断和试探。例如，我们知道了Ф(x)＝x3的导数Ф′(x)＝3x2，

232

也就知道了F(x)＝3x的逆导数是Ф(x)＝x.这时，如果要问函数f(x)＝x的逆导数是什么，那么我们就不难想到，它的逆导数应该是x3/3.这里要指出一点，即对于一个给定的函数f(x)来说，它的逆导数并不是唯一的。Ф1(x)＝x3/3是f(x)＝x2的逆导数，Ф2(x)＝x3/3＋1和Ф3(x)=x3/3－5也都是它的逆导数，因为Ф′(x)、Ф2′(x)、Ф3′(x)都等于x2.一般说来，在函数f(x)的某个逆导数Ф(x)上加一任意常量C，仍旧是f(x)的逆导数。通常把一个函数f(x)的逆导数的通式Ф(x)＋C叫做它的不定积分，并记作∫f(x)dx，于是

1

因在不定积分中包含任意常量，它代表的不是个别函数，而是一组函数。

26

表A-4基本不定积分公式 函数f(x xn(n≠-1) n=1时，x1=x n=2时，x n=3时，x3 2 ???? -cosx+C sinx+C ln|x|+C ex+C ???? sinx cosx ex 27

上面所给的例子太简单了，我们一眼就能猜到逆导数是什么。在一般的情况下求逆导数，首先要求我们对各种函数的导数掌握得很熟练，才能确定选用那一种形式的函数去试探。此外，掌握表A-4中给出的基本不定积分公式和其后的几个有关积分运算的定理，也是很重要的。(表中的公式可以通过求导运算倒过来验证，望读者自己去完成)

下面是几个有关积分运算的定理。

定理一 如果f(x)＝au(x)(a是常量)，则

定理二 如果f(x)=u(x)±v(x)，则

这两个定理的证明是显而易见的，下面我们利用这两个定理和表A－4中的公式计算两个例题。

定理三 如果f(x)=u(v)v′(x)，则

此定理表明，当f(x)具有这种形式时，我们就可以用v来代替x作自变量，这叫做换元法。经过换元往往可以把比较复杂的积分化成表A-4中给出的现成结果。下面看几个例题。

解：令u(v)＝sinv，v(x)＝ax＋b， dv＝v′(x)dx＝adx，经换元得

解：令v(x)=sinx，则dv＝v′(x)dx＝cosx dx，于是

28

于是

5.4通过不定积分计算定积分

当我们求得不定积分

之后，将上、下限的数值代入相减，就得到定积分的值：

作定积分运算时，任意常量就被消掉了。

29

图A－14是f(x)=sin2πx的曲线，它在x＝0到1/2一段是正的，在x＝1/2到1一段是负的。从x＝0到1的定积分为0，是因为横轴上下两块面积大小相等，一正一负，相互抵消了。

例题17 推导匀变速直线运动的路程公式。 解：v(t)=v0+at，

例题18 若在(A.52)式中力F(s)与距离平方成反比：F(s)＝a/s2，求功A(见图A-15).

习 题

A-1.

(1)若f(x)=x2，写出f(0)、f(1)、f(2)、f(3)之值。

(3)若f(x)＝a＋bx，f(0)＝？x0为多少时f(x0)=0？

30