高中物理竞赛的数学基础(10)

用几何运算法来验证上述法则，也不算太困难，特别是利用三角形来表示的话。

并不是所有带有方向的物理量都服从上述叠加法则的(如大角度的角位移就是例外，见第四章)，不符合这法则的物理量不是矢量。

3.矢量的标积

设A和B是两个任意矢量，它们的标积(常用A2B表示，故又称点乘)的解析定义为如下标量：

A2B=AxBx＋AyBy+AzBz. (B.9)

由此定义不难看出，点乘是服从交换律和分配律的： A2B＝B2A， (交换律) (B.10)

A2(B＋C)＝A2 B＋ A2C， (分配律)(B.11) 下面看点乘的几何意义。把A、B两矢量的起点O叠在一起，二者决定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy面，从而Az=Bz=0.令A、B与Ox轴的夹角分别为α、β(见图B－9)，则Ax=Acosα，Ay＝Asinα，Bx＝B cosβ，By=B sinβ，标积

A2B＝AxBx＋AyBy

＝AB(cosα cosβ＋sinα sinβ) ＝AB cos(β－α)，

即 A2 B＝AB cosθ， (B.12)

式中θ＝β－α为两矢量之间的夹角。(B.12)

式可看作是标积的几何定义。从这个定义可立即看出：A、B平行时，θ＝0，标积 A2B＝AB；A、B反平行时，θ=π，标积A2B＝- AB；A、B垂直时，θ＝π/2，标积A2B＝0.一般说来，θ为锐角时，标积取正值；θ为钝角时，标积取负值。一个矢量A与自身的标积A2A＝A2.

在物理学中标积的典型例子是功(见第三章1.5节)。

4.矢量的矢积

设A和B是两个任意矢量，它们的矢积(常用A3B表示，故又称叉乘)的解析定义为如下矢量：

A3B＝(AyBz－AzBy)i＋(AzBx－AxBz)j＋(AxBy－AyBx)k

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由此定义不难看出，点乘是服从反交换律和分配律的： A3B=-B3A， (反交换律) (B.14)

A3(B＋C)＝ A3B＋A3C，(分配律) (B.15)

下面看叉乘的几何意义。同前，把A、B两矢量的起点O叠在一起，二者决定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy面，从而Az＝Bz＝0。令A、B与Ox轴的夹角分别为α、β，则Ax=Acosα，Ay＝Asinα，Bx＝Bcosβ，By= Bsinβ，矢积

A3B＝(AxBy-AyBx)k＝AB(cosαsinβ－sinαcosβ)k

=AB sin(β-α)k.

即矢积C=A3B＝ABsinθk， (B.16)