高中物理竞赛的数学基础(4)

标轴的夹角α来描述。从图上不难看出，P1点愈靠近P0点，α角就愈接近一个确定的值α0，当P1点完全和P0点重合的时候，割线P0P1变成切线P0T，α的极限值α0就是切线与横轴的夹角。

在解析几何中，我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切tanα叫做这条直线的斜率。斜率为正时表示α是锐角，从左到右直线是上坡的（见图A-7a）；斜率为负时表示α是钝角，从左到右直线是下坡的（见图A-7b）。现在我们来研究图A-6中割线P0P1和切线P0T的斜率。

设P0和P1的坐标分别为（x0，y0）和（x0+△x，y0+△y），以割线P0P1为斜边作一直角三角形△P0P1M，它的水平边P0M的长度为△x，竖直边MP1的长度为△y，因此这条割线的斜率为

如果图A-6中的曲线代表函数y=f（x），则割线P0P1的斜率就等于函数在

线P0P1斜率的极限值，即

所以导数的几何意义是切线的斜率。

§3．导数的运算

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在上节里我们只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它们可以把常见函数的导数求出来。

3．1基本函数的导数公式

（1）y＝f（x）＝C（常量）

（2）y=f（x）＝x

（3）y＝f（x）=x2

（4）y＝f（x）＝x3

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上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当y=xn时，

等等。利用（A．33）式我们还可以计算其它幂函数的导数（见表A-2）。

n

除了幂函数x外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数。我们只给出这些函数的导数公式（见表A-2）而不推导，读者可以直接引用。

3．2有关导数运算的几个定理 定理一

证：

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定理二

证：

函数y=f(x) c(任意常量) x(n为任意常量)

n=1,x n=2,x n=3,x

32

n

表A-2基本导数公式 导数y′=f′(x)

0 n-1nx 1 2x 23x

???? sinx cosx lnx

???? cosx -sinx

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ex 定理三

ex

证：

定理四

证：

例题1求y=x2±a2（a为常量）的导数。

例题3求y=ax（a为常量）的导数。

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2