高中物理竞赛的数学基础(7)

来源：网络收集时间：2026-07-15

导读：区间的增量△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)： 24 但按照定理的前提，Ф′(x)=f(x)，故 △Ф(xi)≈Ф′(xi)△x=f(xi)△x. 式中≈表示“近似等于”，若� 鱴→0的极限，上式就是严格的等式。把a?x?b区间分成n－1小段，每段

区间的增量△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)：

但按照定理的前提，Ф′(x)=f(x)，故

△Ф(xi)≈Ф′(xi)△x=f(xi)△x.

式中≈表示“近似等于”，若取△x→0的极限，上式就是严格的等式。把a?x?b区间分成n－1小段，每段长△x.上式适用于每小段。根据积分的定义和上式，我们有

因x1＝a，xn＝b，于是得(A.53)式，至此定理证讫。

下面看看函数Ф(x)在f-x图(见图A-13)中所表现的几何意义。如前所述，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)=f(xi)△x，正是宽为△x、高为

积。它和曲线段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面积只是相差一小三角形PiNPi

＋1的面积。当△x→0时，可认为△Ф(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面积。

既然当x由xi变到xi+1时，Ф(x)的增量的几何意义是相应区间f-x曲线下的面积，则Ф(x)本身的几何意义就是从原点O到x区间f-x曲线下面的面积加上一个常量C＝Ф(0).例如Ф(xi)的几何意义是图形OxiPiP0的面积加C，Ф(xi＋1)的几何意义是图形Oxi+1Pi+1P0的面积加C，等等。这样，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)就是：

(Oxi+1Pi+1P0的面积+C) -(OxiPiP0的面积+C) =xixi+1Pi+1Pi的面积，

而Ф(b)-Ф(a)的几何意义是： (ObPbP0的面积+C) －(OaPaP0的面积+C) ＝abPbPa的面积。

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