高中物理竞赛的数学基础(12)

极坐标表示，对应矢量的长度A为复数的模或绝对值，记作

之间有如下换算关系：

或反过来，有

所以

即一对共轭复数的乘积等于模的平方。

相等的充要条件为：

或

2.复数的四则运算

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(1)加减法

(C.9)

即实部、虚部分别加减。 (2)乘法

即模相乘，辐角相加。或者

(C.11)

(3)除法

即模相除，辐角相减。或者

倒数运算可以看作是除法的特例：

3.欧勒公式

x

现在介绍一下欧勒公式是如何得来的。从附录A的表A-3中可以查到e、cosx、sinx的幂级数展开式：

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即e±jx＝cosx± jsinx， (C.16) 这就是欧勒公式。下面给出几个常用的三角函数与复指数函数之间的变换公式。从欧勒公式可以反解出：

由此立即得到

4.简诣振动的复数表示

简谐振动 s(t)＝A cos(ωt＋?0)也可用一个复数的实部或虚部来表示。上式右端又可写

称为复振幅，它集振幅A和初相位?0于一身。于是，简谐振动的复数表示可写为

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亦即，对t求导数相当于乘上一个因子jω，运算起来十分方便。 我们有时候需要计算两个同频简谐量乘积在一个周期里的平均值，如平均功率，这也可以用复数来运算。设两个同频简谐量为

它们的乘积在一个周期内的平均值等于

如果用相应的复数

来计算的话，下列公式给出同样的结果：

所以今后我们将用下式来计算两简谐量乘积的平均值：

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习 题

C-1.计算下列复数的模和辐角。 (1)(1＋2j)＋(2＋3j)；

(3)(2＋3j)-(3＋4j)； (4)(－2＋7j)＋(－1－2j).

C－2.计算下列复数的实部和虚部。

C-3.用复数求两个简谐量 a(t)= A cos(ωt＋?a)和b(t)＝Bcos

(1) (2) (3) (4) A 2 /3 6 /4 3 π/3 0.2 4π/5 1 -2π/3 7 6π/5 π?a πB ?b 值 1 2π/3 2 0 平均 45