概率论与数理统计习题答案[1](6)

第五章练习题

1、证明：设X表示掷1000次硬币出现的正面数,则X~b(1000,12)

故 E(X)?500D(X)?250

P(400?X?600)?P(400?500X?500?500510?510?600510)?P(X?500510?210)

?P(X?500?100)?1?250104?0.975从而得证 P(400?X?60?0)0 .

2、证明： ?EX????0x?xe?xdx??e?xx2??0?????x02xedx

??2xe?x???2e?x??00?2EX2????2?x0x?xedx??e?xx3??2?x0?3???0xedx?6

故D(X)?EX2?(EX)2?6?4?2

21

?P(0?X?4)?P(X?2?2)?1??1?DX412?12

3、解：设n表示该车间每月生产的显象管数，X表示显象管的正品数。则X~b(n,0.8)

由题意知： P(X?1000)?P(X?0.8n0.8n0.16n?1000?0.16n)

?1??(1000?0.8n0.16n)?0.997?n?12654

5、解：设X表示抽查的100人中能治愈的人数,则X~b(100,0.8)

则 E(X)?80D(X?) 1（1）

P(X?75)?P(X?804?7?58)04 ?1??(?54)

??(54)?0.8944（2） 若治愈率为0.7，则X~b(100,0.7) 故E(X)?70D(X)?21

22

P(X?75)?P(X?7021521?)75?7021)

?1??(?0.1379

6、解：设X表示在一段时间内需要此商品的人数，Y表示应预备的商品件数。则

X~b(1000,0.6) 则E(X)?600D(X)?240

P(X?Y)?P(??(X?600240Y?600240)?Y?600240)

?99.7%则

Y?600240?2.75

Y?643

7．选择题

B BD D C C

第六章练习题

1. 在总体N(52,6.32)中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值X落在50.8至53.8之间的概率.

解：由题意：X~N(5.2,)， 3653.8?5250.8?52?P(50.8?X?53.8)??()??()6.36.36??(1.7143)??(?1.1429)?0.9564?[1?0.8729]?0.829366.32

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2. 已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布, 在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(以小时计)为:

1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948

试用样本数字特征法求出寿命总体的均值?和方差?的估计值,并估计这种灯泡的寿

2命大于1300小时的概率.

解：由题设知：样本容量n?10 样本均值

1X?(1067?919?1196?785?1126?936?918?1156?920?948) 10?997.1样本方差

12S?(10679?92022?9192?119622?7852?11262?9362?9182?11562

?9482?10?997.1)?173051300?997.117305)P(X?1300)?1?P(X?1300)?1??(?1??(1300?997.1131.55)?1??(2.3026)

?1?0.9893?0.0107.

3. 设各种零件的重量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布,其数学期望为0.5公斤,均方差为0.1公斤,问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少?(提示:当n较大时,随机变量之和X?X1?X2???Xn近似地服从正态分布,以下第6题,第7题也适用)

5000解：由题设知n?5000，已知X?

?P(X?2510)?P(X5000?25105000X5000??i?1Xi近似5000~N(0.5,0.15000)

)?P(X?0.5020)0.5020?0.50.15000)?1?P(X?0.5020)?1??(

?1??(0.0020.0045)?1??(0.444)?1?0.6700?0.33

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4. 部件包括10个部分, 每部分的长度是一个随机变量, 它们相互独立, 且服从同一分布. 其数学期望为2毫米, 均方差为0.05毫米,规定总长度为20格, 试求产品合格的概率.

解：由题设知n?10,10?0.1毫米时产品合

EXi?2,D(Xi)?0.05,i?1,2?10

则总长度X??i?1Xi，且EX?10?2?20,DX?10?0.05?0.5

则产品合格的概率为

P(20?0.1?X?20?0.1)??(0.10.5)??(?0.10.5)

?2?(0.1414)?1?0.1114.

5. 计算机进行加法时, 对每个加数取整(即取最接近于它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布.

(1) 若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ (2) 几个数加在一起, 可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？

1解：由题设知n?1500,EXi?0,D(Xi)?,i?1,2?1500

1215001500则误差总和X??Xi，且EX?0,DX?

i?11215P(X?15)?1?P(X?15)?1?[2?()?1]1500（1）

12?2[1??(1.3416)]?0.1802.

n（2）Xn??i?1Xi且EXn?0,DX?10n12n12

P(Xn?10)?1?2?()?1?0.90