概率论与数理统计习题答案[1](5)

3.解：??0,10,20,30,

P(??0)?(1?0.53)3?0.67，P(??10)?C133230.5(1?0.5)?0.287

P(??20)?C2323333(0.5)(1?0.5)?0.041，P(??30)?(0.5)?0.002

? 0 10 20 30 p

0.67 0.287 0.041 0.002 E??3.75

4.解：设X表示完成任务所需天数

（1）P(X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)

?0.05?0.2?0.35?0.6

（2）EX?1?0.05?2?0.2?3?0.35?4?0.3?5?0.1?3.2 （3）设Y表示整个项目的费用，则Y?20000?2000X EY?E(20000?2000X)?20000?2000EX?26400

（4）EX2?1?0.05?4?0.2?9?0.35?16?0.3?25?0.1?11.3

DX?EX2?(EX)2?11.3?3.22?1.06 DX?1.03

5. 解：（1）EX?(1?2?3?4?5?6)?(1/6)?3.5

EX?(1?4?9?16?25?36)?(1/6)?91/6

DX?EX2?(EX)2?35/12

众数不存在，中位数是3.5 （2）EX?4,EX2?115196,DX?6

众数是5，6，中位数是3.5

6. 解：（1）X,Y~N(1,1/5) ，EX?EY?1,DX?DY?1/5 由D(X?aY?2)?E[(X?aY?2)2]，得E(X?aY?2)?0 EX?aEY?2?0, 1?a?2?0, 所以 a?3 （2）D(X?3Y?2)?DX?9DY?1/5?9/5?2 令Z?X?3Y?2，则Z~N(0,2)

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z2(2E(X?3Y?2)?EZ????z1?e2)2dz ??2e?z24|???2

??2??2?0?z2 E(X?3Y?22)?EZ2????44??2

??z21?e?dz???0e?t2dt?2 D(X?aY?2)?2?4?

7.解：X~U[0,60]，f(x)??1/60,0?x?60X??0,其他

?5?X,0?X?5?Y?g(X)??25?X,5?X?25??55　?X,25?X?55

??60?X?5,55?X?60 EY?E[g(X)]????160??g(x)fX(x)dx?60?0g(x)dx

?1[?55560(5?x)dx?250?5(25?x)dx??25(55?x)dx??6055(65?x)dx]?11.67

8. 解：设X表示4天内的利润，则X?6,3,0,?1

P(X?6)?0.94，P(X?3)?C134(0.1)(0.9)，

P(X?0)?C222334(0.1)(0.9)，P(X??1)?C4(0.1)0.9?(0.1)4

EX?4.8077

9.解：X?0,1,2,3

P(X?0)?0.9?0.8?0.7?0.504

P(X?1)?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398

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P(X?2)?0.1?0.2?0.7?0.1?0.8?0.3?0.9?0.2?0.3?0.092 P(X?3)?0.1?0.2?0.3?0.006 EX?0.6，EX2?0.82

DX?EX2?(EX)2?0.46

10.解：依题意 X~U[10,20]，Y~U[10,20]且相互独立 f(x)??1/10,10?x?20?1/10,10?y?20?其他，f(y)??0,?

?0,其他f(x,y)??1/100,10?x,y?20??0,其他

设经销该商品每周所得利润为Z，则

Z?g(X,Y)??1000Y,Y?X?1000Y,Y?X??1000X?500(Y?X),Y?X??

?500(X?Y),Y?XEZ?E[g(X,Y)]??20x10dx?1000y?110100dy??2010dx?201x500(x?y)?100dy?14167

11.解：?X,Y)XY?Cov(DX?DY??

?)Cov(aX?b,cY?d)???Cov(?,??

D??D?D(aX?b)?D(cY?d)?acCov(X,Y)?aDX?cDY???

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12. 解：（1）EX?0,DX??12，EY?0,DY??22

EU?E(a1X?a2Y)?a1EX?a2EY?0

2222DU?D(a1X?a2Y)?a1DX?a2DY?(a1?1)?(a2?2)

EV?E(a1X?a2Y)?a1EX?a2EY?0

DV?D(a1X?a2Y)?a1DX?a2DY?(a1?1)?(a2?2) U,V~U?N(0,(a1?1)?(a2?2))

?2u222222222f(u)?12?[(a1?1)?(a2?2)]2e2[(a1?1)?(a2?2)]

f(v)?12?[(a1?1)?(a2?2)]22?v222e2[(a1?1)?(a2?2)]

（2）EX2??1，EY222??2

2222 E(UV)?E(a12X ?UV??a2Y)?a1EX?a2EY222?a1?1?a2?2

2222222222Cov(U,V)DU?DV?E(UV)?EUEVDU?DV?a1?1?a2?a?2121?a?2222

（3）在正态分布中，不相关与独立是等价的，故a1?1?a2?2时U,V独立

22 （4）f(u,v)?fU(u)fV(v)?

12?[(a1?1)?(a2?2)]22?u?v2222e2[(a1?1)?(a2?2)]

13.解：EX?P(A)?P(A)，EY?P(B)?P(B)

E(XY)?1?[P(AB)?P(AB)]?(?1)?[P(AB)?P(AB)]

X和Y不相关?E(XY)?EXEY

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?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)

? A与B相互独立.

14. 解：Y1?X2?1~??0.5??? , Y2?X0.5???10.2510.2543??8~??0.25??10.2510.25?1~??0.5?８?? 0.25??16?? 0.5??XY1?X3??8~??0.25?８?? , XY2?X0.25??4EY1?2.5,EY2?0,EX?0,E(XY1)?0,E(XY2)?8.5 Cov(X,Y1)?E(XY1)?EXEY1?0

?XY?0，所以Y1?X2与X不相关

1Cov(X,Y2)?E(XY2)?EXEY2?8.5

?XY?0，所以Y2?X3与X相关．

1

15．选择题：

(1)．随机变量X的概率分布为：P(XE(X)?n)?12n(n?1)，(n?1,2,3,?)．则其数学期望

为（ D ）.

(2)．随机变量X与Y独立同分布，令??X?Y?，

?X?Y，则随机变量?和?必然（ C ）

(3)．对任意随机变量X与Y，则下列等式中一定成立的为（ B ）

(4)．设X与Y为任意随机变量，若E(XY)?E(X)E(Y)，则下述结论中成立的为（ A ）

(5)．设离散型随机变量X的可能取值为1、2、3，且E(X)?2.3，E(X2)?5.9，则对应取值1、2、3的概率应为（ D ）

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