[最新版]2013年四川省绵阳市中考数学试卷及答案（Word解析版） -(6)

； ，试判断O是

△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究

的最大值．

考点： 相似形综合题；三角形的重心 分析： （1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论； （2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，=，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心； （3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值． 解答： （1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E． ∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点． ∴DE是中位线， ∴DE∥AC，且DE=AC． ∵DE∥AC， ∴△AOC∽△DOE， ∴=2， ∵AD=AO+OD， ∴． （2）答：点O是△ABC的重心． 证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心． 由（1）可知，而， =， ∴点Q与点O重合（是同一个点）， ∴点O是△ABC的重心．