自动控制原理课后习题答案(4)

系统的闭环传递函数为s3?30s2?200s?1000?10Kts(s?20)?0

10Kts(s?20) 32s?30s?200s?1000于是，以Kt为参变量的等效开环传递函数为G?(s)?绘制以Kt为参变量的根轨迹，如图4-23所示。

6Root Locus4Imaginary Axis20-2-4-6-30-25-20-15-10-505Real Axis

图4-23当Gc(s)?Kts时的参数根轨迹图

根据参变量的等效开环传递函数表达式，可知A(s)?s代入方程

3?30s2?200s?1000，B(s)?s2?20s。

A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理得到分离点方程如下：

s4?40s3?400s2?2000s?20000?0

求解得到

s1?6.8377, s2??6.2849, s3,4??20.2764 ? 7.3661i

根据实轴上系统根轨迹的分布，取分离点坐标为d＝-6.28。此时，对应的根轨迹增益为

d3?30d2?200d?1000Kt??0.7886

10d(d?20)在这种情况下，可以在0< Kt <0.7886范围内，通过改变Kt的值使系统的主导极点具有??0.707的最佳阻尼比。

(2) 当Gc(s)?Kas时，系统的开环传递函数为G(s)?系统的闭环传递函数为s321000

s(s?10?10Kas)(s?20)?30s2?200s?1000?10Kas2(s?20)?0

?10Kas2(s?20)于是，以Ka为参变量的等效开环传递函数为G(s)?3

s?30s2?200s?1000绘制以Ka为参变量的根轨迹，如图4-24所示。

6Root Locus4Imaginary Axis20-2-4-6-30-25-20-15-10-505Real Axis

图4-24当Gc(s)?Kas时的参数根轨迹图

这种情况下，由于Ka的值越大，系统的闭环极点就越靠近虚轴，从而使系统的稳定性越差，因此不能通过改变Ka的值来使系统的性能达到最佳。

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2(3) 当Gc(s)?Kas/(s?20)时，系统的开环传递函数为G(s)?系统的闭环传递函数为s321000

s(s?30s?200?10Kas)2?30s2?200s?1000?10Kas2?0

?10Kas2于是，以Ka为参变量的等效开环传递函数为G(s)?3

s?30s2?200s?1000绘制以Ka为参变量的根轨迹，如图4-25所示。

6Root Locus4Imaginary Axis20-2-4-6-30-25-20-15-10-505Real Axis

图4-25当Gc(s)?Kas/(s?20)时的参数根轨迹图

这种情况下，也不能通过改变Ka的值来使系统的性能达到最佳。 综上所述，应选取第一种传递函数，即Gc(s)?Kts。

2

5-1 解：系统闭环传递函数为?(s)?9 s?10则，闭环频率特性为?(j?)?99?，M(?)?,?(?)??arctan

10?j?10102??2由线性系统频率特性的特点和已知的输入信号可得，系统的稳态输出分别为：

(1)css?(2)css?9102??29102??2sin(t?30??arctan?10)??1?0.9sin(t+24.3?)；?2cos(2t?45??arctan?10

)??2??1.8cos(2t?56.3?)；?(3) 根据线性系统叠加性有：css?0.9sin(t?24.3)?1.8cos(2t?56.3)。 5-2 解：系统闭环传递函数为

2?n ?(s)?22s?2??ns??n对应的幅频和相频特性表达式分别为

?(j?)?2?n222(?n??2)2?4?2?n?,?(?)??arctan2??n? 2?n??2?由题设条件知，??1，?(j1)?2,?(1)??45。则：

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2??n??(j?)?222?(?n??2)2?4?2?n????2??n??(?)??arctan??45??22?n????1???2??1

解之得：?n?1.244s?1,??0.22。 5-3 解：(1)G(s)?K，??1,m?0,n?2

s(Ts?1)奈氏曲线起点坐标为(∞，-90°)，终点坐标为(0，-180°)，可知图形位于第Ⅲ象限。如图5-10(a)所示。

由传递函数知，该系统为典型Ⅰ型系统，当K＜图5-10(b)中的①和②所示。

L(?)/dBIm-20-2011和K＞时的对数幅频特性曲线分别如TTω0Re0 K 1/T K ?-40-40/s?1②(a)奈氏图(b) 对数幅频特性图①

图5-10 题5-3（1）解答图

(2)G(s)?K(?s?1)(??T)，??2,m?1,n?3

s2(Ts?1)奈氏曲线起点坐标为(∞，-180°)，终点坐标为(0，-180°) 系统相位?(?)?-180o?arctan???arctan?T

可见，T＞?时奈氏曲线位于第Ⅱ象限，T＜?时时奈氏曲线位于第Ⅲ象限。如图5-11(a)(b)所示。由传递函数知该系统为典型Ⅱ型系统，两种情况下的对数幅频特性曲线如图5-11(c)(d)所示。

Imω0ImL(?)/dB-40L(?)/dB-40Reω0Re0-60-40-20?/s?10?/s?1-40(d) T＜τ时对数幅频特性图(a) T＞τ(b) T＜τ(c) T＞τ时对数幅频特性图图5-11 题5-3（2）解答图

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1s?1???0,K?1,m?1,n?1。奈氏曲线起点为(1,0°)，终点为(,0°) Ts?1T系统相位为?(?)?arctan??arctan?T

(3)G(s)?可见，T＜1时奈氏曲线位于第Ⅰ象限，如图5-12(a)中的①所示；T＞1时奈氏曲线位于第Ⅳ象限，如图5-12(a)中的②所示。

T＜1时的对数幅频特性曲线如图5-12 (b) 中的①所示；T＞1时的对数幅频特性曲线如图5-12 (b) 中的②所示。

Imω①0 1 1/T 1ω②(a)奈氏图L(?)/dB① T＜1?1Re0 1/T 1 1/T ?/s② T＞1(b) 对数幅频特性图

图5-12 题5-3（3）解答图

(4) G(s)??s?11?j?，G(j?)? Ts?11?j?T11???180? TT?则，G(j0)?1?0,G(j?)??奈氏曲线起点坐标为(1，0°)，终点坐标为(1/T，-180°) 系统相位为?(?)??arctan??arctan?T

可见，奈氏曲线位于第Ⅳ、Ⅲ象限，如图5-13(a)所示。

由传递函数知该系统为非最小相位系统，Bode图与第（3）题相同。 T＜1和T＞1时的对数幅频特性曲线分别如图5-13 (b) 中的①和②所示。

Im -1/T 10L(?)/dB① T＜1Re0 1/T 1 1/T ?/s?1② T＞1(b) 对数幅频特性图ω(a)奈氏图

图5-13 题5-3（4）解答图

(5)G(s)?1???1,K?1,m?0,n?3

s(s?1)(2s?1)奈氏曲线起点坐标为(∞，-90°)，终点坐标为(0，-270°) 因此，奈氏曲线位于第Ⅲ、Ⅱ象限，与负实轴有交点。 令：?(?)??90o-arctan?-arctan2?=-180o，得?x=0.7s-1 (?x)=则，A2=-

(1??x2)(1?4?x2)31?x由此概略绘制奈氏图如图5-14(a)所示。

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G(s)?1，??1,K?1，20lgK=0dB，?1?0.5s?1，?2=1s-2

s(s?1)(2s?1)对数幅频特性图如图5-14 (b)所示。

ImL(?)/dB-20 -1 -2/3 0Reω(a)奈氏图0 0.1 0.5 1-40?/s?1-60(b) 对数幅频特性图

图5-14 题5-3（5）解答图

(6)G(s)?4s?1，??2,m?1,n?4

s2(s?1)(2s?1)奈氏曲线起点坐标为(∞，-180°)，终点坐标为(0，-360°) 因此，奈氏曲线位于第Ⅲ、Ⅱ象限，与负实轴有交点。

令?(?)??180o-arctan?-arctan2??arctan4?=-180o，得?x=0.354s-1 (?x)=则，A21+16?x?2x(1??)(1?4?)2x2x=10.7

由此概略绘制奈氏图如图5-15(a)图所示。

4s?1G(s)?2???2,K?1，20lgK=0dB，?1?0.25s?1，?2=0.5s-1,?3=1s-1

s(s?1)(2s?1)由此概略绘制对数幅频特性图如图5-15 (b)图所示。

Imω -10.7 0L(?)/dB-40Re-20-40-600 0.1 0.25 0.5 1(a)奈氏图(b) 对数幅频特性图?/s?1

图5-15 题5-3（6）解答图

5-4 解：由(a)图得，G(s)?Uo(s)?R2R1//1CsUi(s)?R1R2Cs?R2R2?R1R2Cs?R1?R2R1?R2R1Cs?1 R1R2Cs?1R1?R2 令K?R2RR，??R1C，T?12C …… 此处隐藏：1939字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……