自动控制原理课后习题答案(3)

K??因此，系统的闭环传递函数为

?3?3j?0??3?3j?(?3)?3?3j?(?6)?3

?(s)?单位阶跃输入时，有R(s)?1G(s)H(s)3(s?6)3(s?6)??21?G(s)H(s)s(s?3)?3(s?6)s?6s?18

s，因此，系统阶跃响应的拉氏变换为

C(s)??(s)R(s)?对上式求拉氏反变换，得到

3(s?6)11s?3 ???s2?6s?18sss2?6s?18c(t)?1(t)?e?3tcos3t

图4-19为该系统的单位阶跃响应曲线。由图可见，在系统最小阻尼比时，系统的单位阶跃响应具有较好的平稳性和快速性。

Step Response1.21Amplitude0.80.60.40.2000.511.522.533.544.55Time (sec)

图4-19 题4-12系统的单位阶跃响应曲线

4-13 【解】（1）具体绘制步骤省略，得到的根轨迹如图4-20所示。

Root Locus32K*=61.414jImaginary Axis1A0K*=0.385βdB-1-1.414j-2-3-4-3-2-1012Real Axis

图4-20 题4-13系统的根轨迹图

（2）经计算根轨迹在实轴上的分离点坐标为d＝-0.423，根轨迹与虚轴的交点为s1,2对应的临界开环根轨迹增益为K*＝6。

当系统动态过程为衰减振荡形式时，说明系统处于欠阻尼工作状态，此时系统有一对负实部的共轭复数极点。从根轨迹图4-20可以看出，当闭环极点位于从分离点到虚轴交点之间的根轨迹时，系统处于欠阻尼工作状态。因此，只要求出分离点及虚轴交点处对应的开环根轨迹增益，就能得到满足题意的K*值范围。

由幅值条件，可得分离点d处对应的开环根轨迹增益为

??j2??j1.414，

8

K??d?0?d?1?d?2?0.385因此，当0.385< K<6时，系统动态过程为衰减振荡形式。

*

（3）显然，当K*＝6时，系统响应呈等幅振荡形式，对应的振荡频率为?（4）由题意，???2。

13?j。 33?0.5时，阻尼角??arccos??60?。过坐标原点作两条与负实轴成60°的射线，与根

轨迹交于A、B两点，这两点即为系统的闭环主导极点。于是，A、B两点的坐标为s1,2??由于系统的n－m≥2，因此闭环极点之和应等于开环极点之和，即

s1?s2?s3?p1?p2?p3

由此可得第三个闭环极点为

13137s3?0?(?1)?(?2)?(??j)?(??j)??33333

根据幅值条件，这三个闭环极点对应的开环根轨迹增益为

K??s3?0?s3?1?s3?2?1.037由此可得系统的闭环传递函数为

7??13??13??s?s??js??j??????33333??????

由于s3离虚轴的距离是s1,2离虚轴距离的7倍多，所以s1,2是系统的闭环主导极点。于是，可将此时的三

阶系统，即K?Φ(s)?1.037?1.037时的闭环系统近似为二阶系统来处理。简化后系统的闭环传递函数为

Φ(s)?由此可得?n0.445s2?0.667s?0.445

2?0.667，??0.5。单位阶跃信号作用下的性能指标为

?%?e???1???100%?16.3%

ts?3.5??n?10.5 s

由系统的开环传递函数知该系统为I型系统，故其静态速度误差系数为

K?Kv?limsG(s)H(s)?s?02

因此，系统在单位斜坡输入下的稳态误差为

ess?12???1.93KvK

4-14【解】（1）正反馈系统的根轨迹（此时应按零度根轨迹规则绘制）

1) 该系统有4个开环极点和1个开环零点，即p1,2＝0，p3＝-2和p4＝-4，z1＝-1。 2) 该系统有4条根轨迹分支，一条趋向于z1＝-1，其余三条均趋向于无穷远处。 3) 实轴上[-4,-2]、[-1,0]和[0,+∞)为根轨迹区域。

4) 由于n－m＝3，故系统有3条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：

?a?ni?2k?= 0?, +120?, ?120? 3mjj?1?a?5) 根轨迹的分离点。

?p??zi?1n?m?20?(?2)?(?4)?(?1)5??

33根据系统开环传递函数的表达式，可知A(s)?s(s?2)(s?4)，B(s)?s?1。代入方程

9

A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理得到

s(3s3?16s2?26s?16)?0

求解上述方程，得到方程的根为

s1＝0，s2＝－3.0837，s3,4＝－1.1248±j0.6814

根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取d＝-3.0837。 正反馈系统的根轨迹如图4-21(a)所示。

（2）负反馈系统的根轨迹（此时应按常规根轨迹规则绘制）

1) 该系统有4个开环极点和1个开环零点，即p1,2＝0，p3＝-2和p4＝-4，z1＝-1。 2) 该系统有4条根轨迹分支，一条趋向于z1＝-1，其余三条均趋向于无穷远处。 3) 实轴上(-∞,-4]和[-2,-1]为根轨迹区域。

4) 由于n-m＝3，故系统有3条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：

?a?ni?(2k?1)?= ?60?, 180?

3mjj?1?a?5) 根轨迹的分离点。

?p??zi?1n?m?20?(?2)?(?4)?(?1)5??

33根据系统开环传递函数的表达式，可知A(s)?s(s?2)(s?4)，B(s)?s?1。代入方程

A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理得到

s(3s3?16s2?26s?16)?0

求解上述方程，得到方程的根为

s1＝0，s2＝-3.0837，s3,4＝-1.1248±j0.6814

根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取d＝0。 6) 根轨迹与虚轴的交点 系统的闭环特征方程为

s4?6s3?8s2?K?s?K??0

将s＝jω代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到

?42??K???8??0 ??2???(K?6?)?0求解上述方程组，得到解为

???2, K??12

负反馈系统的根轨迹如图4-21(b)所示。

jωjω?j2d-4 -2 -1 0σ-4 -2 -1 0?j2σ

(a)正反馈系统根轨迹 (b)负反馈系统根轨迹

图4-21 题4-14的系统根轨迹

4-15 【解】(1) 当Gc(s)?Kts时，系统的开环传递函数为G(s)?

1000

s(s?10?10Kt)(s?20)10