自动控制原理课后习题答案(2)

R(s)-1??s10s(s?2)C(s)

图4-15 题4-10的系统结构图

【解】系统的开环传递函数为

G(s)H(s)?系统的闭环特征方程为

10(?s?1)

s(s?2)s2?2s?10?s?10?0

则以τ为参变量时的等效开环传递函数为

G?(s)H?(s)?以下绘制以τ为参变量时的系统根轨迹：

Ks, (K?10?)

s2?2s?101) 等效开环传递函数有2个开环极点和1个开环零点，即p1,2＝-1±j3，z1＝0。 2) 新系统具有2条根轨迹，一条终止于z1＝0，另一条终止于无穷远处。 3) 实轴上的(-∞,0]为根轨迹区域。

4) 新系统有2条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为0和180，交点为

???a?5) 根轨迹的汇合点

?p??zii?1j?1nmjn?m?(?1?j3)?(?1?j3)??2

1根据等效开环传递函数的表达式，有

A(s)?s2?2s?10，B(s)?s，于是

A(s)B'(s)?A'(s)B(s)??s2?10?0

解得s1,2??10??3.16。显然，汇合点坐标为d＝-3.16。

6) 根轨迹的出射角

?p????zp??pp?180??(180??arctan3)?90??198.43?，?p??198.43?

111212根据以上信息，绘制的参数根轨迹如图4-16所示。

jωp1+3j

d=-3.16-5 -4 -3 -2 -1 0σp2-3j

图4-16 题4-10的系统根轨迹

4-11【解】（1）确定满足条件的极点容许区域。 由题意?%≤5%，及关系式?%?e尼角?又由ts???1??2?100%，可得?≥0.69。根据??arccos?，可得阻

≤46.3?。

?8s，及ts?3.5??n?3.5?（??为极点实部），可知?≥0.4375。

因此，极点容许区域如图4-17中的阴影区所示。

6

jωK*K*???-2 -1 0σK*

图4-17 极点容许区域

*

（2）确定根轨迹与容许区域边界交点处的K值。

用幅值条件不难确定实轴根轨迹与垂线s=-0.4375交点处的K*值为0.684；复平面上根轨迹与扇形区边界交点－1±j1.046处的K*值为2.094，故满足条件的K*值范围为

0.684 < K* < 2.094

4-12 【解】（1）由于已知开环传递函数是由两个有限极点和一个有限零点组成的，故该系统根轨迹的复数部分为一圆，其中圆心在有限零点z1＝-6处，半径为有限零点到分离点（会合点）的距离。

由开环传递函数知：A(s)?s得到：s22?3s，B(s)?s?6。代入方程A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理

?12s?18?0。解得s1＝-1.76，s2＝-10.24。由图可知，s1为分离点坐标，s2为会合点坐标。系

Root Locus6统的根轨迹如图4-18所示。

4AImaginary Axis20β-10.24-1.76-2-4-6-14-12-10-8-6-4-202

图4-18 题4-12系统增加开环零点后的根轨迹图

Real Axis

（2）根据幅值条件，可知：

分离点s1＝-1.76对应的开环根轨迹增益为

K1???1.76?0??1.76?(?3)?1.76?(?6)?0.515

会合点s2＝-10.24对应的开环根轨迹增益为

?K2?*

?10.24?0??10.24?(?3)?10.24?(?6)?17.485

由根轨迹图可知，当0＜K＜0.515时，系统有两个相异的负实根，此时系统处于过阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程；当0.515＜K*＜17.485时，系统有一对负实部的共轭复根，此时系统处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程；当K*＞17.485时，系统又具有两个相异的负实根，系统回到过阻尼状态；当K*＝0.515或17.485时，系统有两个相等的负实根，此时系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程，响应速度较过阻尼状态快。

（3）过坐标原点作根轨迹圆的切线，切点为A，如图4-18所示。由关系式?实轴夹角的余弦就是所要求的系统最小阻尼比，此时

?cos?可知，该切线与负

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??cos??cos45??0.707

相应的A点坐标为-3+3j。根据对称性，系统最小阻尼比所对应的闭环极点为-3±3j。 由幅值条件易知，A点处的开环根轨迹增益为