排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型与通用方法

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

1(,ij1,2?,3,4)例3.已知集合A?{1,2,3,?,19,20}，集合B?{a1,a2,a3,a4}，且B?A，若|ai?aj|?则满足条件的集合B有多少个？

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

，

例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，

不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）

A、CCC4124844种

4C12C84C44 B、3CCC种 C、CCA种 D、种 3A341248444124833

6.全员分配问题分组法:

例7.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种

7.名额分配问题隔板法:

例8：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

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例9.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也

不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

8.限制条件的分配问题分类法:

例10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、

司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是

A． 152 B. 126 C. 90 D. 54

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例11 （1）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 例12. 电子表10点20分08秒时，显示的数字是10:20:08，那么，从8点到10点内，电子表6

个数码均不相同的情况有多少种?

10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)

例13.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不

同的参赛方案？

11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例14.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例15.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）

A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，

有多少种不同排法？

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例16.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共

有（ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同

的选法？

15.几何问题:

例18.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A、70种 B、64种 C、58种 D、52种

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

（3）记正方体的各条棱的中点构成的集合为M，则过且仅过集合M的三个点的平面有多少个？ （4）正方体8个顶点可连成多少对异面直线？

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16.圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n个普通排列：

a1,a2,a3?,an;a2,a3,a4,?,an,?;an,a1,?,an?1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n?1元素全排列.

n例19.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法. 例20.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例21. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据

需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ） A．5种

B．6种

C．7种 D．8种

n例22．从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种 …… 此处隐藏：4245字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……