2007年高考数学试题分类汇编：圆锥曲线(8)

29、（安徽文18）（本小题满分14分） 设F是抛物线G:x2=4y的焦点.

（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：

（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足FA·FB?0,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边

形ABCD面积的最小值.

本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．

22?x0?x0xx0x?0(x?x0)．解：（I）设切点Q?x0，?．由y??，知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为y?

22424??2x0x4x?． 即y?24因为点P(0，??)在切线上．

2x02所以?4??，x0?16，x0??4．

4所求切线方程为y??2x?4． （II）设A(x1，y1)，C(x2，y2)．

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k?0． 因直线AC过焦点F(0，1)，所以直线AC的方程为y?kx?1．

?y?kx?1，点A，C的坐标满足方程组?2

?x?4y，2得x?4kx?4?0，

?x1?x2?4k，由根与系数的关系知?

?x1x2??4.AC?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?4(1?k2)．

因为AC?BD，所以BD的斜率为?11，从而BD的方程为y??x?1． kk??1?2?4(1?k2)同理可求得BD?4?1??????． 2??k??k??18(1?k2)212SABCD?ACBD??8(k?2?)≥32． 222kk当k?1时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为32．