2007年高考数学试题分类汇编：圆锥曲线(3)

?b2?证法二：同证法一，得到点A的坐标为?c，?，

?a?H，易知△F1BC∽△F1F2A，故 过点O作OB?AF1，垂足为

BOFA?2 OF1F1A1BO?OF1，所以 由椭圆定义得AF，又?AF?2a123F2A1F2A， ??3F1A2a?F2Ay HA F1 O F2 x b2b2aa?，即a?2b． 解得F2A?，而F2A?，得

2a2a（Ⅱ）解法一：圆x2?y2?t2上的任意点M(x0，y0)处的切线方程为x0x?y0y?t2．

当t?(0，b)时，圆x2?y2?t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q1和Q2，因此点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标是方程组

2??x0x?y0y?t ①的解．当y0?0时，由①式得 ?222??x?2y?2b ②t2?x0x y?y0?t2?x0x?22代入②式，得x?2???2b，即

?y0?222(2x0?y0)x2?4t2x0x?2t4?2b2y0?0，

24t2x02t4?2b2y0于是x1?x2?，x1x2? 22222x0?y02x0?y02t2?x0x1t2?x1x2 y1y2?y0y11422 ?2?t?xt(x?x)?xx1x2?0120??y04224t2x01?4222t?2by0? ?2?t?x0t?x02222?y0?2x0?y02x0?y0?2t4?2b2x0． ?222x0?y0若OQ1?OQ2，则

22222t4?2b2y0t4?2b2x03t4?2b2(x0?y0)x1x2?y1y2????0． 2222222x0?y02x0?y02x0?y02222所以，3t4?2b2(x0?y0)?0．由x0?y0?t2，得3t4?2b2t2?0．在区间(0，b)内此方程的解为t?6b． 3当y0?0时，必有x0?0，同理求得在区间(0，b)内的解为t?另一方面，当t?

6b． 36b时，可推出x1x2?y1y2?0，从而OQ1?OQ2． 3

综上所述，t?

6b?(0，b)使得所述命题成立． 3x2y25、（天津理22）（本小题满分14分）设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F，F2，A是椭圆上的一点，1ab1AF2?F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF1．

3（Ⅰ）证明a?2b；

（Ⅱ）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1?OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹

方程．

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

（Ⅰ）证法一：由题设AF2?F，0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中y?0．由于点A在椭圆上，1F2及F1(?c来源学|科|网c2y2a2?b2y2?2?1． 有2?2?1，即

aba2b?b2?b2解得y?，从而得到A?c，?．

a?a?b2(x?c)，整理得b2x?2acy?b2c?0． 直线AF1的方程为y?2ac1cb2c由题设，原点O到直线AF1的距离为OF1，即?，

42233b?4ac22222将c?a?b代入上式并化简得a?2b，即a?2b．

?b2?

证法二：同证法一，得到点A的坐标为?c，?．

?a?

B，易知△F1BO∽△F1F2A，故过点O作OB?AF1，垂足为

由椭圆定义得AF1?AF2?2a，又BO?BOOF1?F2AF1A．

1OF1， 3 F2A1FA所以?2?，

3F1A2a?F2AyA [来源:学科网ZXXK]

B b2b2aa?，即a?2b． F 解得F2A?，而F2A?，得F2x 1O 2a2a （Ⅱ）解法一：设点D的坐标为(x0，y0)．

x0x0当y0?0时，由OD?QQ知，直线的斜率为，所以直线的方程为QQQQ?y??(x?x0)?y0，或121212y0y02x0x0y?kx?m，其中k??，m?y0?．

y0y0?y?kx?m，点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组?2 22?x?2y?2b．222将①式代入②式，得x?2(kx?m)?2b，

2222整理得(1?2k)x?4kmx?2m?2b?0，

2m2?2b4km于是x1?x2??，x1x2?． 221?2k1?2k由①式得y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?k2 2m2?2b2?4kmm2?2b2k22?k·?km·?m?．

1?2k21?2k1?2k223m2?2b2?2b2k2?0， 由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0．将③式和④式代入得

1?2k23m2?2b2(1?k2)．

2x0x02222将k??，m?y0?代入上式，整理得x0?y0?b．

3y0y0?x?x0，当y0?0时，直线Q1Q2的方程为x?x0，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组?2 22?x?2y?2b．22b2?x0所以x1?x2?x0，y1，． 2??222b2?x02?0， 由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0，即x0?2222解得x0?b．

32222这时，点D的坐标仍满足x0?y0?b．

32222综上，点D的轨迹方程为 x?y?b．

3解法二：设点D的坐标为(x0，y0)，直线OD的方程为y0x?x0y?0，由OD?QQ垂足为D，可知直线Q1Q212，

22的方程为x0x?y0y?x0． ?y0记m?x?y2020（显然

??x0x?y0y?m， ①m?0），点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组?2 22??x?2y?2b． ②由①式得y0y?m?x0x． ③

222222由②式得y0x?2y0y?2y0b． ④ 2222将③式代入④式得y0x?2(m?x0x)2?2y0b． 222整理得(2x0?y0)x2?4mx0x?2m2?2b2y0?0，

22m2?2b2y0于是x1x2?． ⑤ 222x0?y0由①式得x0x?m?y0y． ⑥ 222222由②式得x0x?2x0y?2x0b． ⑦ 2222将⑥式代入⑦式得(m?y0y)2?2x0y?2x0b，

222整理得(2x0?y0)y2?2my0y?m2?2b2x0?0，

2m2?2b2x0于是y1y2?． ⑧ 222x0?y0222m2?2b2y0m2?2b2x0由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0．将⑤式和⑧式代入得??0， 22222x0?y02x0?y0223m2?2b2(x0?y0)?0．

2222将m?x0代入上式，得x0?y0??y022所以，点D的轨迹方程为x?y?22b． 322b． 3

x2?y2?1的左、右焦点. 6、（四川文21）(本小题满分12分)求F1、F2分别是椭圆4225（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，PF1?PF2??，求点P的作标；

4（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知a?2，b?1，c?3．

∴F1(?3,0)，F2(3,0)．设P(x,y)(x?0,y?0)．则

x25PF1?PF2?(?3?x,?y)(3?x,?y)?x?y?3??，又?y2?1，

44227?22x?y??x?1?x2?1?3?4?联立?2，解得?，P(1,)． ??23?32x??y2?1?y??y??4?2??4（Ⅱ）显然x?0不满足题设条件．可设l的方程为y?kx?2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

?x2??y2?1联立?4?x2?4(kx?2)2?4?(1?4k2)x2?16kx?12?0

?y?kx?2?∴x1x2?1216kx?x??， 12221?4k1?4k由??(16k)2?4?(1?4k2)?12?0

16k2?3(1?4k2)?0，4k2?3?0，得k2?3．① 4又?AOB为锐角?cos?AOB?0?OA?OB?0， ∴OA?OB?x1x2?y1y2?0

又y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?4 ∴x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4

?(1?k2)?1216k?2k?(?)?4 1?4k21?4k212(1?k2)2k?16k???4 1?4k21?4k24(4?k2)??0 21?4k∴??k2?4．②

综①②可知?k2?4，∴k的取值范围是(?2,?

143433)(,2)． 22x2?y2?1的左、右焦点. 7、（四川理20）（本小题满分12分）设F1、F2分别是椭圆4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3 所以F1?3,0,F2x213?x,?y?x?y?3?x?1??3?3x2?8? ?1244因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2

?PF?PF???3?x,?y?,????3,0，设P?x,y?，则

?222当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1 解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???23,0，设P?x,y?，则

22?PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2?PF1?PF2?F1F22PF1?PF2

221?x?3?y2?x?3?y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）

???2?（Ⅱ）显然 …… 此处隐藏：2481字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……