2007年高考数学试题分类汇编：圆锥曲线(6)

正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y?x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y??c交于P,Q，

（1）若OA?OB?2，求c的值；（5分）

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

解：（1）设过C点的直线为y?kx?c，所以x?kx?c?c?0?，即x2?kx?c?0，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，

2OA=?x1,y1?，OB??x2,y2?，因为OA?OB?2，所以

x1x2?y1y2?2，即x1x2??kx1?c??kx2?c??2，x1x2?k2x1x2?kc?x1?x2??c2?2

所以?c?k2c?kck?c2?2，即c2?c?2?0,所以c?2舍去c??1

（2）设过Q的切线为y?y1?k1?x?x1?，y/?2x，所以k1?2x1，即y?2x1x?2x12?y1?2x1x?x12，它与y??c???x1??x1y2?y??kk2cc?x1?2?k?的交点为M??又P?，所以Q，因为,所以xx??c,?,?c??x2，,?c,?c?，??12???x12??22?2??2??22x1??xx??k?所以M?1?2,?c???,?c?,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

??22??2?k??k?（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q?,?c?，因为PQ?x轴，所以P?,yP?

?2??2?x?x2k?，所以P为AB的中点。 因为122

19、（本小题满分12分）

已知双曲线x2?y2?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； ?F1A?F1B?FO11（其中

（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 解：由条件知F1(?2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 解法一：（I）设M(x，y)，则则FM?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， 1F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，由FM?F1A?F1B?FO111得

?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ?y?y?yy?y?y?12?12?x?4y?于是AB的中点坐标为?，?．

?22?yy?y2yy2(x1?x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???x?8x1?x2x?4?2x?82222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y12?2，x2?y2?2，两式相减得 (x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．

y(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)2?y2?4． 将y1?y2?x?8当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程．

所以点M的轨迹方程是(x?6)?y?4．

（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CACB为常数．

22

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．

4k24k2?2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2，

k?1k?12于是CACB?(x1?m)(x2?m)?k(x1?2)(x2?2)

?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?4k2?m2

(k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?m)???4k2?m2 22k?1k?12(1?2m)k2?24?4m2??m?2(1?2m)??m2． 22k?1k?1因为CACB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CACB=?1． 当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，?2)，

此时CACB?(1，2)(1，?2)??1．

故在x轴上存在定点C(1，0)，使CACB为常数．

?x1?x2?x?4，解法二：（I）同解法一的（I）有?

y?y?y?12当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．

4k2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2．

k?1?4k2?4k． y1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2?k?1?k?14k2由①②③得x?4?2．???????????????????④

k?14ky?2．??????????????????????????⑤

k?1x?4?k，将其代入⑤有 当k?0时，y?0，由④⑤得，yx?44?4y(x?4)y22y??．整理得(x?6)?y?4． 222(x?4)(x?4)?y?1y2当k?0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程．

故点M的轨迹方程是(x?6)?y?4．

（II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CACB为常数，

224k24k2?2当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1?x2?2?1，x1x2?2．

kk?1以上同解法一的（II）．

20、（湖南文19）（本小题满分13分）

已知双曲线x2?y2?2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A，B两点，点C的坐标是(1，0)． （I）证明CA，CB为常数；

（II）若动点M满足CM?CA?CB?CO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程． 解：由条件知F(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． （I）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为(2，2)，(2，?2)， 此时CACB?(1，2)(1，?2)??1．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x2?y2?2，有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．

4k24k2?2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2，

k?1k?12于是CACB?(x1?1)(x2?1)?y1y2?(x1?1)(x2?1)?k(x1?2)(x2?2)

?(k2?1)x1x2?(2k2?1)(x1?x2)?4k2?1 (k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?1)2???4k?1 22k?1k?1?(?4k2?2)?4k2?1??1．

综上所述，CACB为常数?1．

（II）解法一：设M(x，y)，则CM?(x?1，y1)， ，y)，CA?(x1?1CB?(x2?1，y2)，CO?(?1，0)，由CM?CA?CB?CO得：

?x?1?x1?x2?3，?x1?x2?x?2，即? ??y?y1?y2?y1?y2?y?x?2y?于是AB的中点坐标为?，?．

22??yy?y2yy2(x1?x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???x?2x?2x1?x2?2x?22222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y12?2，x2?y2?2，两式相减得 (x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?2)?(y1?y2)y．

y(x1?x2)代入上式，化简得x2?y2?4． 将y1?y2?x?2当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(2，0)，也满足上述方程．

所以点M的轨迹方程是x?y?4．

22?x1?x2?x?2，解法二：同解法一得???????????????①

y?y?y?124k2当AB不与x轴垂直时，由（I） 有x1?x2?2．???????②

k?1?4k2?4k．?????????③ y1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2k?1k?1??

4k2由①②③得x?2?2．???????????????????④

k?14ky?2．??????????????????????????⑤

k?1x?2当k?0时，y?0，由④⑤得，?k，将其代入⑤有

yx?24?4y(x?2)yy??．整理得x2?y2?4． 222(x?2)(x?2)?y?1y2当k?0时，点M的坐标为(?2，0)，满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(2，0)，也满足上述方程．

故点M的轨迹方程是x2?y2?4．

21、（湖北理19）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2?2py（p?0）相交于A，B两点．

（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合

y 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． 解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0，?p)，可设

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为y?kx?p，与x?2py联立得2C A O N B x

?x2?2py，消去y得??y?kx?p．x2?2pkx?2p2?0．

由韦达定理得x1?x2?2pk，x1x2??2p2． 1于是S△ABN?S△BCN?S△ACN?·2px1?x2． 2?px1?x2?p(x1?x2)2?4x1x2 ?p4p2k2?8p2?2p2k2?2，

∴当k?0时，(S△ABN)min?22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a， A y B C O N x AC的中点为O?，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中 …… 此处隐藏：3485字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……