2007年高考数学试题分类汇编：圆锥曲线(4)

331??2得：或 k?k???3?4k?3?0?224??00又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0 ∴OA?OB?x1x2?y1y2?0

由???4k??4?k?2?8k2?k2?1??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?

111222k?k?k?4443?k2?1??0，即k2?4 ∴?2?k?2 ∵

11k2?k2?4433故由①、②得?2?k??或?k?2

22x2y2y2x28、（上海理21）已知半椭圆2?2?1?x?0?与半椭圆2?2?1?x?0?组成的曲线称为“果圆”，其中

abbca2?b2?c2,a?0,b?c?0，F0,F1,F2是对应的焦点。

23k2（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若A1A?B1B，求

b的取值范围； a（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由。 解（1）∵F0（c，0）F1（0，?b?c），F2（0，b?c）

22222∴| F0F1 |＝(b?c)?c?b?1，| F1F2 |＝2b?c?1

22222于是c?37222，a?b?c?，所求“果圆”方程为 4442422x?y2?1（x≥0），y?x?1（x≤0）． 7322??4分

（2）由题意，得a＋c＞2b，即a?b?2b?a． ∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得

b4? a5??7分

b21又b＞c＝a－b，∴2?．

a22

2

2

2

∴

b24?(,)． a25x2y2y2x2（3）设“果圆”的方程为2?2?1（x≥0）2?2?1（x≤0）

abba记平行弦的斜率为k．

x2y2当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆2?2?1（x≥0）的交点是

ab

y2x2t2t2． p(a1?2,t)，与半椭圆2?2?1（x≤0）的交点是Q（?c1?2,t）

babb?a?ct2?x?1?2∴P、Q的中点M（x，y）满足?2b

?y?t?x2y2??1． 得

a?c2b2()2∵a＜2b，∴(a?c2a?c?2ba?c?2b)?b2???0． 222综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆??14分

2ka2bk2a2b?b3x2y2,) 当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆2?2?1（x≥0）的交点是(22abka?b2k2a2?b2b2由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y?2x上，即不在某一椭圆上．

k当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． ??18分

9、（上海文21）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．

??17分

x2y2y2x2我们把由半椭圆2?2?1 (x≥0)与半椭圆2?2?1 (x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中

abbca2?b2?c2，a?0，b?c?0．

如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆” 与x，y轴的交点，M是线段A1A2y B2的中点．

（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该

F2“果圆”的方程； A1 F0A2x O M 22yx ??1 （2）设P是“果圆”的半椭圆F b2c2. . . . 1(x≤0)上任意一点．求证：当

PM取得最小值时，

B1 P在点B1，B2或A1处；

（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标．

解：（1）? F0(c，0)，F10，?b2?c2，F20，b2?c2，

?F0F2??????b2?c2??c2?b?1，F1F2?2b2?c2?1，

37于是c2?，a2?b2?c2?，

4444所求“果圆”方程为x2?y2?1(x≥0)，y2?x2?1(x≤0)．

73y)，则 （2）设P(x，a?c??2 |PM|2??x???y

2???b2?2(a?c)2 ??1?2?x?(a?c)x??b2，?c≤x≤0，

c?4?2b2 ?1?2?0，? |PM|2的最小值只能在x?0或x??c处取到．

c 即当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处．

x2y2y2x2?|A1M|?|MA2|， （3）且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)和半椭圆2?2?1(x≤0)abbcx2y2上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)上的情形即可．

aba?c??2 |PM|2??x???y

2??c2?a2(a?c)?(a?c)2a2(a?c)22? ?2?x?． ??b?4a?2c2?4c2a2(a?c)a2(a?c)2 当x?时取到， ≤a，即a≤2c时，|PM|的最小值在x?22c2c2a2(a?c)此时P的横坐标是．

2c2a2(a?c)22a?2c?a 当x?，即时，由于在时是递减的，的最小值在x?a时取到，此时P|PM||PM|x?a22c的横坐标是a．

22a2(a?c) 综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是；若a?2c，当|PM|取得最小值时，

2c2点P的横坐标是a或?c．

x2y2610、（陕西文22） (本小题满分14分)已知椭圆C:2?2=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离

3ab为3.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3，求△AOB面积的最大值. 2?c6，??解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3

?a?3，?

x2?b?1，?所求椭圆方程为?y2?1．

3（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

（1）当AB⊥x轴时，AB?3． （2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y?kx?m． 由已知m1?k2把y?kx?m代入椭圆方程，整理得(3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0，

3(m2?1)?6km?x1?x2?2，x1x2?．

3k?13k2?12212(m2?1)?2222?36km?AB?(1?k)(x2?x1)?(1?k)?2?? 22(3k?1)3k?1???3232，得m?(k?1)．

4212(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1) ??(3k2?1)2(3k2?1)212k21212?3?4?3?(k?0)≤3??4．

19k?6k2?12?3?629k?2?6k132当且仅当9k?2，即k??时等号成立．当k?0时，AB?3，

k3综上所述ABmax?2．

133． ??当AB最大时，△AOB面积取最大值S??ABmax?222

11、（山东理21）（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

x2y2【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)

aba?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b2?3 x2y2???1. 43?y?kx?m? (II)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2y2得

?1??3?4(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，

??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0. 8mk4(m2?3)x1?x2??,x1?x2?. 223?4k3?4k3(m2?4k2)y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?. 23?4k22

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD?kBD??1，

?y1y?2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0， x1?2x2?23(m2?4k2)4(m2?3)16mk???4?0，

3?4k23?4k23?4k27m2?16mk?4k2?0，解得

2km1??2k,m2??，且满足3?4k2?m2?0.

7当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

22k2当m??时，l:y?k(x?)，直线过定点(,0).

7772综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

7

12、（全国2理20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x?3y?4相切． （1）求圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求PAPB的取值范围． 解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x?3y?4的距离，

4?2． 1?3得圆O的方程为x2?y2?4． （2）不妨设A(x1，，0)B(x2，，0)x1?x2．由x2?4即得 A(?2，，0)B(2，0) …… 此处隐藏：2363字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……