兰州交大结构力学教案之影响线(4)

307050100307030701541545415415汽车--10级501007013050100501001541545415415汽车--15级701306012012070130701301541541.410415415汽车--20级70130701303012012014014070130701301541541031.471.410415415汽车--超20级(轴重力单位：kN 尺寸单位：m)

图11-21

验算荷载以履带车、平板挂车表示。关于履带车及平板挂车的纵向排列和横向布置，详见中华人民共和国交通部部颁标准《公路工程技术标准》，编号JTJ001-97(1997年人民交通出版社)。

§11-9 最不利荷载位置

在移动荷载作用下，结构上某一量值S是随着荷载位置的变化而变化的。在结构设计中，需要求出量值S的最大正值Smax和最大负值Smin(也称最小值)作为设计的依据。为此，必须首先确定产生某一量值最大值(或最小值)时的荷载位置，亦即该量值的最不利荷载位置。最不利荷载位置确定后，即可按本节前述方法计算出该量值的最大值(或最小值)。影响线最主要的应用就在于用它来确定最不利荷载位置。

下面讨论在不同的荷载作用下，最不利荷载位置的确定方法。 1．单个集中荷载

此时，可凭直观得出：Smax=Fymax, Smin=Fymin(图11-22)。

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S影响线qFSmax荷载位置qFSmin荷载位置qS影响线q

图11-22 图11-23

2．可任意分割的均布荷载(如人群、货物)

由式(11-4)可知S=q·Aω，显然，将荷载布满影响线所有正面积的部分，则产生Smax；反之，将荷载布满对应影响线所有负面积的部分，则产生Smin(图11-23)。 3．行列荷载

行列荷载是指一系列间距不变的移动集中荷载(也包括均布荷载)。如中—活载、汽车车队等，其最不利荷载位置难以由直观得出，只能通过寻求S的的极值条件来解决求Smax的问题。一般分两步进行：

1) 求出使量值S达到极值的荷载位置。该荷载位置叫做荷载的临界位置。

2) 从荷载的临界位置中找出荷载的最不利位置，亦即从S的极大值中找最大值，从极小值中找最小值。 （1）临界位置的判定

设某量值S的影响线如图11-24(a)所示为一折线形，各段直线的倾角分别为α1、α2、…αn。取坐标轴x向右为正，y轴向上为正，倾角α以逆时针转动为正。现有行列荷载作用于图11-24(b)所示位置，此时产生的量值S1为

(a)yny2y1y1x (b)FR1y2ynx FR2ynxx FRnS影响线

图11-24

S1=FR1y1+FR2y2+…+FRnyn=ΣFRiyi

这里y1、y2、…yn分别为各段直线范围内荷载合力FR1、FR2、…FRn对应的影响线的竖标。当整个荷载组向右移动微小距离Δx(向右移动Δx为正)。则此时产生的量值S2为

S2=FR1(y1+Δy1)+FR2(y2+Δy2)+…+FRn(yn+Δyn) 量值S的增量为

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ΔS=S2-S1=FR1Δy1+FR2Δy2+…+FRnΔyn =FR1Δxtanα1+FR2Δxtanα2+…+FRnΔxtanαn =ΔxΣFRitanαi 亦即

ΔS/Δx=ΣFRitanαi

由数学可知，函数的一阶导数为零或变号处函数可能存在极值，如图11-25所示。其中图11-25(a)是分布荷载的极值条件，后一种则用于集中荷载，此时，极值两边的导数必定符号相反。

可知，使S成为极大值的条件是：荷载自该位置向左或向右移动时，量值S均应减小或保持不变，即ΔS<0。由于荷载向左移动时Δx＜0，而向右移动时Δx＞0，故使S成为极大值的条件为

(a)ydsdx(b)y>0 s>0 x s s x<0S极值dsdx=0 xxS极值x

图11-25

荷载稍向左移： ΣFRitanαi>0

荷载稍向右移： ΣFRitanαi<0 (11-5) 同理，使S成为极小值的条件应为

荷载稍向左移： ΣFRitanαi<0

荷载稍向右移： ΣFRitanαi>0 (11-5’)

若只讨论ΣFRitanαi≠0的情况，可得如下结论：当荷载组向左或向右移动微小距离时，ΣFRitanαi必须变号，S才产生极值。

下面讨论在什么情况下ΣFRitanαi才有可能变号。由于tanαi是影响线中各段直线的斜率，是常数，并不随荷载位置而改变，因此，要使ΣFRitanαi改变符号，只有各段内的合力FRi改变数值才有可能。而要使FRi改变数值，只有当某一个集中荷载正好作用在影响线的某一顶点(转折点)处时，才有可能。当然，并不是每个集中荷载位于影响线顶点时都能使ΣFRitanαi变号。我们把能使ΣFRitanαi变号的荷载，亦即使S产生极值的荷载叫临界荷载。此时相应的荷载位置称为临界位置。这样，式(11-5)及式(11-6)称为临界位置的判别式。

一般情况下，临界位置可能不止一个，因此S的极值也不止一个，这时需要将各个S的极值分别求出，再从中找出最大(或最小)的S值。至于哪一个荷载是临界荷载，则需要试算，

154

看将该荷载置于影响线某一顶点处是否能满足判别式。为了减少试算次数，可从以下两点估计最不利荷载位置：

(1) 将行列荷载中数值较大，且较密集的部分置于影响线的最大纵距附近。 (2) 位于同符号影响线范围内的荷载应尽可能的多。 （2）确定最不利荷载位置的步骤

由以上分析可知，确定最不利荷载位置的一般步骤如下：

1) 从荷载中选定一个集中力FRi，使它位于影响线的一个顶点上。

2) 令荷载分别向左、右移动(即当FRi在该顶点稍左或稍右)时，分别求ΣFRitanαi的数值，看其是否变号(或由零变为非零，由非零变为零)。若变号，则此荷载位置为临界位置。

3) 对每一个临界位置求出S的一个极值，再找出最大值即为Smax，找出最小值即为Smin。与产生该最大值及最小值所对应的荷载位置，即为最不利荷载位置。

例11-2 试求图11-26(a)所示简支梁在中—活载作用下截面C的最大弯矩。

解： 首先作出MC影响线如图11-26(b)所示。由图求得各段斜率为 tanα1=5/8, tanα2=1/8, tanα3=-3/8 其次，由式(11-5)通过试算确定临界位置。

(a)AIID4m2mC2mIE4m4mIIB1.先考虑列车从右向左开行时的情况。 (1) 将轮4置于影响线顶点E处试算，如图11-26(c)所示。由判别式(11-5)，有

荷载稍左移： ΣFRitanαi=220×5/8+(3×220)×1/6-(220+92×5)×3/8＜0

荷载稍右移： ΣFRitanαi=220×5/8+(2×220)×1/6-(2×220+92×5)×3/8＜0

(d)(c)(b)6mAEDBMc影响线2.55x220kN12345x1.5m592kN/m5m123345x1.5m56mΣFRitanαi未变号，说明轮4位于E点不是临界位置。应将荷载向左移到下一位置试算。

(2) 将轮2置于D点试算，如图11-26(d)所示。

有 图11-26 荷载左移： ΣFRitanαi=(440)×5/8+(440)×1/6-(220+92×6)×3/8＞0 荷载右移： ΣFRitanαi=(220)×5/8+(660)×1/6-(220+92×6)×3/8＜0

ΣFRitanαi变号，可知轮2在D点为一临界位置。在算出各荷载对应的影响线纵距后(同一段直线上的荷载可用合力F代替)，则此位置产生的MC值为 MC(1)=ΣFiyi+q·Aω

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54321(e)4m1m5x1.5m =220×1.5625+660×2.6875+220×2.8125+92×1/2×6×2.25) =3357.3kN·m

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