2016届全国统一高考数学试卷（新课标）（理科） 解析版(5)

∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1， ∴﹣a=

=

，

令g（x）=

，则g（x1）=g（x2）=﹣a，

∵g′（x）=，

∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=

﹣

=

，

设h（m）=，m＞0，

则h′（m）=＞0恒成立，

即h（m）在（0，+∞）上为增函数， h（m）＞h（0）=0恒成立，

即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，

令m=1﹣x1＞0，

则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）?g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）?2﹣x1＞x2， 即x1+x2＜2．

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）（2016春?海南校级期末）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．

（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论． 【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK， ∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，

∴直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心． ∵OA=OB，TA=TB， ∴OT为AB的中垂线， 同理，OC=OD，TC=TD， ∴OT为CD的中垂线， ∴AB∥CD．

【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（t为参数，a＞0）．在以坐

标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．

（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a． 【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线

222

C1是圆，化为一般式，结合x+y=ρ，y=ρsinθ化为极坐标方程；

（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共

2

弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=x可得1﹣a=0，则a值可求． 【解答】解：（Ⅰ）由

，得

，两式平方相加得，x+（y﹣1）=a．

2

2

2

∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．

222

化为一般式：x+y﹣2y+1﹣a=0．①

22222

由x+y=ρ，y=ρsinθ，得ρ﹣2ρsinθ+1﹣a=0；

2

（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ=4ρcosθ， 22

∴x+y=4x，②

22

即（x﹣2）+y=4．

由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x， ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，

∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，

2

①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a=0，即为C3，

∴1﹣a=0， ∴a=1（a＞0）．

【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|． （Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．

2

【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；

（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，

由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右： （Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得

当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1； 当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜， 即有﹣1＜x＜或1＜x＜；

当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3． 综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．

则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．

【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．