2016届全国统一高考数学试卷（新课标）（理科） 解析版(3)

故选：A．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤x=

为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（B．9

C．7

D．5

为f（x）的零点，x=

，

为y=f

，

），x=﹣

为f（x）的零点，

）单调，则ω的最大值为（ ）

A．11

【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣

（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（的最大值． 【解答】解：∵x=﹣∴

，即

为f（x）的零点，x=

）单调，可得ω

为y=f（x）图象的对称轴，

，（n∈N）

即ω=2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（即T=

≥

，

）则

﹣

=

≤，

，解得：ω≤12，

+φ=kπ，k∈Z，

当ω=11时，﹣∵|φ|≤∴φ=﹣

， ，

此时f（x）在（当ω=9时，﹣

，）不单调，不满足题意；

+φ=kπ，k∈Z，

∵|φ|≤∴φ=

，

，

此时f（x）在（，）单调，满足题意；

故ω的最大值为9， 故选：B

【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.

13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|=||+||，则m= ﹣2 ． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可． 【解答】解：|+|=||+||， 可得?=0．

向量=（m，1），=（1，2），

可得m+2=0，解得m=﹣2． 故答案为：﹣2．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．

14．（5分）（2016春?唐山校级期末）（2x+）的展开式中，x的系数是 10 ．（用数字填写答案）

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展

3

开式中x的系数． 【解答】解：（2x+

）的展开式中，通项公式为：Tr+1=

5

5

3

2

2

2

2

2

2

=2

5﹣

r

，

令5﹣=3，解得r=4 ∴x的系数2

3

=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15．（5分）（2016春?张家口校级月考）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 64 ．

【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，

可得q（a1+a3）=5，解得q=． a1+qa1=10，解得a1=8． 则a1a2…an=a1?q

n

1+2+3+…+（n﹣1）

2

=8?

6

n

==，

当n=3或4时，表达式取得最大值：=2=64．

故答案为：64．

【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力． 16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元．

【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可； 【解答】解：（1）甲、乙两种两种新型材料，设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．

由题意，得，z=2100x+900y．

不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），

目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900

×100=216000元． 故答案为：216000．

【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016春?德州校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=

，△ABC的面积为

，求△ABC的周长．

【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长． 【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， ∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC ∴cosC=， 又0＜C＜π， ∴C=

；

2

2

（Ⅱ）由余弦定理得7=a+b﹣2ab?， ∴（a+b）﹣3ab=7， ∵S=absinC=

ab=

，

2

∴ab=6，

2

∴（a+b）﹣18=7， ∴a+b=5，

∴△ABC的周长为5+．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF． ∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF， ∵DF∩EF=F，

∴AF⊥平面EFDC， ∵AF?平面ABEF，

∴平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，

可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角； 由CE⊥BE，BE⊥EF，

可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角． 可得∠DFE=∠CEF=60°．

∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC， ∴AB∥平面EFDC，

∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF，

∴四边形EFDC为等腰梯形．

以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a， 则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，∴

=（0，2a，0），

=（，﹣2a，

a），

a），A（2a，2a，0）， =（﹣2a，0，0）

设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则

，

则，取=（，0，﹣1）．

设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则

，

则，取=（0，，4）．

设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ=

==﹣，