2016届全国统一高考数学试卷（新课标）（理科） 解析版(4)

则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键． 19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列． （Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=≥0.5中n的最小值．

（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤19）=

．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费，P（X≤19）=

．由此能确定满足P（X≤n）

用期望EX2，由此能求出买19个更合适． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22， P（X=16）=（

）=

2

，

P（X=17）=P（X=18）=（P（X=19）=P（X=20）=P（X=21）=P（X=22）=∴X的分布列为： X 16 P =，

，

）+2（

2

， ）=

2

，

==

，

，

17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18） =

=

．

P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19） =

+

=

．

∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．

（Ⅲ）由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19） =

+

=

．

买19个所需费用期望： EX1=200××

=4040，

+（200×19+500）×

+（200×19+500×2）×

+（200×19+500×3）

买20个所需费用期望： EX2=

+（200×20+500）×

+（200×20+2×500）×

=4080，

∵EX1＜EX2，

∴买19个更合适．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．

20．（12分）（2016春?唐山校级期末）设圆x+y+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

2

2

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；

（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．

2222

【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x+y+2x﹣15=0即为（x+1）+y=16， 可得圆心A（﹣1，0），半径r=4， 由BE∥AC，可得∠C=∠EBD， 由AC=AD，可得∠D=∠C，

即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，

则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4， 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且有2a=4，即a=2，c=1，b=

=

，

则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；

（Ⅱ）椭圆C1：

+=1，设直线l：x=my+1，

由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1）， 由

可得（3m+4）y+6my﹣9=0，

2

2

设M（x1，y1），N（x2，y2）， 可得y1+y2=﹣

，y1y2=﹣

，

则|MN|=

?|y1﹣y2|=

?

=?=12?，

A到PQ的距离为d==，

|PQ|=2=2=，

则四边形MPNQ面积为S=|PQ|?|MN|=??12?

=24?=24，

当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24?

）．

=8，

即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8

【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e+a（x﹣1）有两个零点． （Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．

x2x

【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e+a（x﹣1）可得：f′（x）=（x﹣1）e+2a（x﹣1）

x

=（x﹣1）（e+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案． （Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a=

=

，令g（x）

x

2

=

，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）

﹣g（1﹣m）=，

设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）

＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．

x2

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e+a（x﹣1），

xx

∴f′（x）=（x﹣1）e+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e+2a），

x

①若a=0，那么f（x）=0?（x﹣2）e=0?x=2， 函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；

x

②若a＞0，那么e+2a＞0恒成立，

当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数； 当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数； 此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，

由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；

x

当x＜1时，e＜e，x﹣2＜﹣1＜0，

x222

∴f（x）=（x﹣2）e+a（x﹣1）＞（x﹣2）e+a（x﹣1）=a（x﹣1）+e（x﹣1）﹣e，

2

令a（x﹣1）+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，

2

则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）+e（x﹣1）﹣e＞0， 故函数f（x）在x＜1存在一个零点；

即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意； ③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，

当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0， e+2a＜e+2a=0，

x

即f′（x）=（x﹣1）（e+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，

xln（﹣2a）

当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e+2a＞e+2a=0，

x

即f′（x）=（x﹣1）（e+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，

xln（﹣2a）

当x＞1时，x﹣1＞0，e+2a＞e+2a=0，

x

即f′（x）=（x﹣1）（e+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，

由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a …… 此处隐藏：1983字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……