概率论与数理统计练习册（最新）(4)

五、设随机变量的联合分布律如下表： X Y 1 2 ?1 1/4 1/6 0 1/4 a 试求：（1）a的值；（2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y).

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练习3.2-3.3 二维随机变量的边缘分布和条件分布

?Cx2y, x2?y?1,一、设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??

?0, 其它1. 试确定常数C；2. 求边缘概率密度。

二、设连续型随机变量(X,Y)在以原点为中心，各边平行于坐标轴，边长为2a和2b的矩形内服从均匀分布，求：

1. (X,Y)的概率密度；2.关于X和Y的边缘分布密度。

三、已知?的概率密度函数为P{??k}?(0.3)k(0.7)1?k,k?0,1,而且在??0及??1的条件下关于?的条件分布如下表：

? P{?|??0} P{?|??1} 1 1/7 1/2 2 2/7 1/3 3 4/7 1/6 试求：1. 二维随机变量(?,?)的联合分布律； 2. 关于?的边缘分布；

3. 在??3的条件下关于?的条件分布律。 四、设随机变量(?,?)的概率密度f(x,y)???1, |y|?x,0?x?1,求条件概率密度

?0, 其它 f?|?(y|x),f?|?(x|y).

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练习3.4 随机变量的独立性

一、填空

1.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则(p,q)? 时，X与Y相互独立。 Y X 0 1 2 2. 离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：

?1 1/15 q 1/5 1 p 1/5 3/10 (X,Y) P (1,1) 1/6 (1,2) 1/9 (1,3) 1/18 (2,1) 1/3 (2,2) (2,3) ? ? 若X与Y独立，则?? ，?? 。 二、设(X,Y)的联合分布为 Y X 0 1

判断X与Y是否相互独立。

0 9/25 6/25 1 6/25 4/25 ?32?xy, 0?x<2,0?y?1,三、设(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??2试求关于X与Y的边

??0, 其它 缘分布密度，且问X与Y是否相互独立。 四、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y y1 y2 1/9 y3 X x1 x2 a 1/9 c 1/3 b

若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值。 五、设(X,Y)为G:x2?y2?4上的均匀分布，求

1.关于X与Y的边缘分布密度；2. 判断X与Y是否独立。

六、设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的概率密

?5e?5y, y?0,度是fY(y)??

?0, y?0 1.求X与Y的联合分布密度；2.求P{Y?X}.

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练习3.5 两个随机变量的函数的分布

一、填空

1.设X与Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则

Z?max{X,Y}的分布函数是 ，W?min{X,Y}的分布函数是 。

2.设随机变量X与Y是相互独立，且X~N(a1,?1)，Y~N(a2,?2)，则Z?X?Y仍具有正态分布，且有Z~ 。

3.已知随机变量X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，且X与Y是相互独立的，Z?X?2Y?7，则Z~ 。

二、设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律分别为 22X Pk 1 0.3 3 0.7 Y 2 0.6 4 0.4 Pk 求X?Y的分布律。

三、两个相互独立的均匀分布的随机变量X与Y的分布密度分别为：

?1, 0?x?1,?1, 0?y?1, fX(x)??fY(y)??0, 其它 0, 其它 ??求Z?X?Y的概率密度。

四、设X与Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布，证明

Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布.

五、设随机变量(X,Y)的分布密度为f(x,y)??的分布函数和分布密度。

?3x, 0

0, 其它 ?分布函数。

七、设随机变量X与Y相互独立，且服从同一分布，证明：

P{a?min{X,Y}?b}?[P{X?a}]2?[P{Y?b}]2

八、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,20)分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。

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