中级微观经济学部分习题答案(3)

FOC

??leader??6000P?120000?0 ?p ? p*?20

10．在合谋的情况下，两家企业确定总产量以最大化总利润：

max?collusion(Q)?[a?Q]Q?cQ

Q FOC

??collusion?0 ? ?p*iQ * ? a?c2P*?, a ?Q*?a?c 2 Q*a?c?每家企业的产量为Q?，i?1,2。 24

给定一家企业（企业i）的产量Qi?*a?c，另一家企业（企业j）的利润函数为4?j(Qj)?[a?(Q*i?Qj)]Qj?cQj?[(a?c)?Qj]Qj。对他来说，最优产量由以下优化

问题确定：

max?j(Qj)?[(a?c)?Qj]Qj

Qj3434 FOC

??j(Qj)?Qj3?0 ? Qd?(a?c) j8由于两家企业的对称性，因此，这一结论也适用于企业i。 因为(a?c)?激励。

381*(a?c)，即Qd?Qjj，因此，每家企业都有违背合约，扩大产量的4P106习题解题思路

2． 第i个人的捐款数额用xi表示，其收益函数为

yi?由于

2(xi??j?ixj)N?xi （i?1,2,?,N）

??0 if N?2?yi2，因此，每个参与人的最优捐款数额为 ??1 ??xiN??0 if N?211

xi*?

??0 if N?2 （i?1,2,?,N）

??[0,100] if N?24．设政府救助的概率为r，失业者搜寻的概率为s，则政府救济和不救济的期望收益分别为

Eug(救济)?3s?(?1)(1?s); Eug(不救济)?(?1)?s?0?(1?s)

失业者搜寻河等待的期望收益分别为

Eul(搜寻)?2r?1(1?r); Eul(等待)?3r?0?(1?r)

令Eug(救济)?Eug(不救济)，得s?0.2；令Eul(搜寻)?Eul(等待)，得r?0.5。 于是，该博弈的混合策略纳什均衡为（0.5救济，0.5不救济；0.2搜索，0.8等待）。

8．我们可以用排除法来求解均衡。 假设顾客的总数量为1，如下图所示。

（1）两家银行（分别记为银行A和银行B）的情形

首先假设两家银行选择不同的位置，在下图中，银行A和银行B的位置分别位于xA和xB点（xA?xB），两家银行的顾客数量分别为xA?(xB?xA)2和(1?xB)?(xB?xA)2。给定银行B的选择，银行A向右移动，直至十分接近xB，这样，银行A可以从银行B处挖走数量为(xB?xA)2的顾客；同样的道理，银行B也有向左移动的激励。因此，xA和xB（xB?xA）不可能构成一个均衡。均衡要求两家银行位于同一点上。

银行A**0?xA?xB银行B1

假设两家银行皆位于x点（其中x?12）上，它们各自分得数量为12的顾客。在这种情况下，给定银行B的选择，银行A稍稍向左移动一点（假设距离为?），就可以得到数量为x??2的顾客，由于?可以足够小，因此x??2?12，所以银行A有偏离的动机（下图）；同样的道理，银行B也有向左移动的激励。因此，两家银行皆位于x点（其中x?12）不可能构成一个均衡。同样的道理，如果两家银行皆位于x点（其中x?12），那么它们都有向右边小幅移动的激励，因此，这也不可能构成一个均衡。

银行A0???x?x银行B1

这样，我们就知道在两家银行的情况下，唯一的均衡就是两家银行皆位于12处，即街道的中点。

12

（2）三家银行（分别记为银行A、银行B和银行C）的情形

我们可以分三种情况来讨论：i三家银行分别位于不同的位置；ii两家银行位于同一点，另一家银行位于另一点；iii三家银行位于同一点。

i三家银行分别位于不同的位置

设银行A、银行B和银行C的位置分别位于xA、xB和xC点（xA?xB?x，三家银C）行的顾客数量分别为xA?(xB?xA)2、(xB?xA)2?(xC?xB)2和

(1?xC)?(xC?xB)2。同上面两家银行情形类似，给定其他人的策略（位置）不变，银行

A有向右移动，接近xB的激励；而银行C也有向左移动，接近xB的激励；而银行B则有向两边移动的激励。所以，三家银行分别位于不同的位置不可能构成一个均衡。

银行A银行B0?xA?xB?xC银行C1

ii两家银行位于同一点，另一家银行位于另一点

这种情况与上面的两家银行分别位于不同位置的情形类似，也不可能构成一个均衡。

iii三家银行位于同一点

如果三家银行位于非中点的同一点上，则这种情况与上面的两家银行位于非中点的同一点的情形类似，不可能构成一个均衡。

如果三家银行皆位于中点上，则各自得到13的顾客。这种情况下，给定其他人的策略（位置）不变，任何一家银行稍稍偏离一点（假设距离为?），即可获得12??2的顾客，由于?可以足够小，因此12??2?13，所以任何一家银行都有偏离的动机。因此，这也不可能成为一个均衡。

因此，在三家银行的情形下，没有纯策略的纳什均衡。 （4）四家银行的情形

我们可以分三种情况来讨论：i四家银行分别位于不同的位置；ii三家银行位于同一点，另外一家银行位于另一点；iii两家银行位于一点，另外两家银行位于另一点；iv四家银行位于同一点。

很容易证明四家银行分别位于不同的位置不i 与两家银行位于不同位置的方法类似，可能构成一个均衡。

ii与两家银行位于不同位置的方法类似，很容易证明三家银行位于同一点，另外一家

银行位于另一点不可能构成一个均衡。

iv与三家银行位于同一点的方法类似，很容易证明四家银行位于同一点不可能构成

一个均衡。

iii两家银行位于一点，另外两家银行位于另一点

用两家银行位于非中点的同一点上相类似的方法，很容易在两家银行位于一点，另外两家银行位于另一点这种策略组合下，只要这两点不是（14,34），那么就不构成纳什均衡。

13

下面我们来看两家银行（银行A、银行B）位于14点，另外两家银行（银行C、银行D）位于34点这种策略组合。在这种策略组合下，每家银行得到14的顾客（下图）。

银行AB银行CD0?14?12?341

给定其他三家银行（A、B、C）的策略不变，我们来看看银行D有无激励去背离（该策略组合）。显然，银行D不会向右边移动，如果移动有利可图，那只能是向左边移动（当然也不会移到14点以左），假设它移向M点（下图）。这样，位于14点与M点之间的中点以右、34点与M点之间的中点以左的顾客将选择银行D，其顾客的比例为

M?1434?M1?? 224 偏离的净收益为零，因此，在这种策略组合下，没有一家银行会选择单方面偏离。因此，策略组合（14，14，34，34）构成一个（弱）纳什均衡。

银行AB银行D银行C0?14??M341

注意，在这里，我们假设没有结盟，即仅仅考察在给定其他三家银行的策略的情况下，有没有一家银行会单方面偏离（“纳什均衡”的定义）。如果允许结盟，那么在上面的策略组合下，银行AB作为一个联盟，银行CD作为一个联盟，都有激励偏离均衡，向中点移动。而我们已经证明，四家银行皆位于中点不是一个均衡。因此，在这种情况下，纯策略的均衡（不是“纳什均衡”）就是不存在的。

Wl?2?100；如果重点14．如果全面复习，学生的期望效用为EU(e?100)?0.9Wh?0.1复习，期望效用为EU(e?20)?0.5Wh?0.5Wl?2?20。学生选择全面复习，当且仅当全面复习所带来的期望效用比重点复习所带来的大：

?100?)EU(e? EU(e9h?0.W1l? 0.W

? Wh?Wl?400

2 0W0.h5?W0.l?5?

?210?014