2013MATLAB数学实验答案（全）(5)

.6086956522 .3913043478

第四次练习

教学要求：会利用软件求勾股数，并且能够分析勾股数之间的关系。会解简单的近似计算问题。

4.1 求满足c?b?2，c?1000的所有勾股数，能否类似于（11.8），把它们用一个公式表示出来？

解法程序1：for b=1:998

a=sqrt((b+2)^2-b^2); if(a==floor(a))

fprintf('a=%i,b=%i,c=%i\\n',a,b,b+2) end

end

运行结果： a=4,b=3,c=5 a=6,b=8,c=10 a=8,b=15,c=17 a=10,b=24,c=26 a=12,b=35,c=37 a=14,b=48,c=50 a=16,b=63,c=65 a=18,b=80,c=82 a=20,b=99,c=101 a=22,b=120,c=122 a=24,b=143,c=145 a=26,b=168,c=170 a=28,b=195,c=197 a=30,b=224,c=226 a=32,b=255,c=257 a=34,b=288,c=290 a=36,b=323,c=325 a=38,b=360,c=362 a=40,b=399,c=401 a=42,b=440,c=442 a=44,b=483,c=485 a=46,b=528,c=530 a=48,b=575,c=577 a=50,b=624,c=626 a=52,b=675,c=677 a=54,b=728,c=730 a=56,b=783,c=785 a=58,b=840,c=842 a=60,b=899,c=901

a=62,b=960,c=962 解法程序2：>> n=0;

m=[];

for a=1:100

for c=a+1:1000

b=sqrt(c^2-a^2);

if (b==floor(b))&(b>a)&((c-b)==2) n=n+1; m(:,l)=[a,b,c]; end end end m

勾股数c?b?2，c?1000的解是：

{a,b,c}?{2(u?1),u2?2u,u2?2u?2}

4.2 将上一题中c?b?2改为c?b?4,5,6,7,分别找出所有的勾股数.将它们与

c?b?1,2时的结果进行比较，然后用公式表达其结果。

（1）c?b?4时通项：{a,b,c}?{4(u?1),2(u2?2u),2(u2?2u?2)} a=8,b=6,c=10 a=12,b=16,c=20 a=16,b=30,c=34 a=20,b=48,c=52 a=24,b=70,c=74 a=28,b=96,c=100 a=32,b=126,c=130 a=36,b=160,c=164 a=40,b=198,c=202 a=44,b=240,c=244 a=48,b=286,c=290 a=52,b=336,c=340 a=56,b=390,c=394 a=60,b=448,c=452 a=64,b=510,c=514 a=68,b=576,c=580 a=72,b=646,c=650 a=76,b=720,c=724 a=80,b=798,c=802

a=84,b=880,c=884 a=88,b=966,c=970

（2）c?b?5时通项：{a,b,c}?{5(2u?1),5(2u2?2u),5(2u2?2u?1)} a=15,b=20,c=25 a=25,b=60,c=65 a=35,b=120,c=125 a=45,b=200,c=205 a=55,b=300,c=305 a=65,b=420,c=425 a=75,b=560,c=565 a=85,b=720,c=725 a=95,b=900,c=905

（3）c?b?6时通项{a,b,c}?{6(u?1),3(u2?2u),3(u2?2u?2)} a=12,b=9,c=15 a=18,b=24,c=30 a=24,b=45,c=51 a=30,b=72,c=78 a=36,b=105,c=111 a=42,b=144,c=150 a=48,b=189,c=195 a=54,b=240,c=246 a=60,b=297,c=303 a=66,b=360,c=366 a=72,b=429,c=435 a=78,b=504,c=510 a=84,b=585,c=591 a=90,b=672,c=678 a=96,b=765,c=771 a=102,b=864,c=870 a=108,b=969,c=975

（4）c?b?7时通项{a,b,c}?{7(2u?1),7(2u?2u),7(2u?2u?1)} a=21,b=28,c=35 a=35,b=84,c=91 a=49,b=168,c=175

22

a=63,b=280,c=287 a=77,b=420,c=427 a=91,b=588,c=595

a=105,b=784,c=791

4.3 对c?1000，c?b?k（k?200），对哪些k存在本原勾股数？（140页练习12） 程序：for k=1:200

for b=1:999

a=sqrt((b+k)^2-b^2);

if((a==floor(a))&gcd(gcd(a,b),(b+k))==1) fprintf('%i,',k); break; end end end

运行结果：1,2,8,9,18,25,32,49,50,72,81,98,121,128,162,169,200, 4.4 设方程(11.15)的解构成数列{pn},{qn},观察数列{pn},{qn},

{pn?qn},{pn?2qn},{pn?qn}.你能得到哪些等式？试根据这些等式推导出关于pn,qn的递推关系式. （142页练习20）

解：1000以内解构成的数列 {pn},{qn}, {pn?qn}, {pn?2qn}, {pn?qn}如下：

n 1 2 3 4 5 6 pn 2 7 26 97 362 1351 qn 1 4 15 56 209 780 pn?qn 3 11 41 153 571 2131 pn?2qn 4 15 56 209 780 2911 pn?qn 1 3 11 41 153 571 我们发现这些解的关系似乎是：

pn?1?qn?1=pn?qn qn=pn?1?2qn?1

因为qn=pn?1?2qn?1，所以qn?pn?1?qn?1?qn?pn?1?2qn?1。

4.5 选取100m对随机的a,b，根据(a,b)?1的概率求出?的近似值。（取自130页练习7）

提示：(1)最大公约数的命令:gcd(a,b)

(2)randint(1,1,[u,v])产生一个在[u,v]区间上的随机整数

程序：

>> m=90200;s=0;

for i=1:m

a=randint(1,2,[1,10^9]); if gcd(a(1),a(2))==1; s=s+1; end end

pi=sqrt(6*m/s) pi =

3.1431

4.6 用求定积分的Monte Carlo法近似计算?。（102页练习16） 提示：Monte Carlo法近似计算?的一个例子。 对于第一象限的正方形0?x?1,0?y?1,内画出四分之一个圆

1 0.80.60.40.20.20.40.60.8向该正方形区域内随即投点,则点落在扇形区域内的概率为投n次点,落在扇形内的次数为nc,则程序如下

n=100000;nc=0; for i=1:n

x=rand;y=rand; if(x^2+y^2<=1) nc=nc+1; end end

pi=4*nc/n 解：程序：

a=0;b=1;m=1000; H=1;s=0; for i=1:m

xi=rand(); yi=H*rand(); if yi

?. 4nc?4nc?,因此??. n4nend

pi=4*H*(b-a)*s/m 运行结果： pi =

3.1480