2013MATLAB数学实验答案（全）(4)

5 0.0022173 6 901.998 7 0.0022173 8 901.998 9 0.0022173 10 901.998 11 0.0022173 12 901.998 13 0.0022173 14 901.998 15 0.0022173 16 901.998 17 0.0022173 18 901.998 19 0.0022173 20 901.998 ??

93 0.0022173 94 901.998 95 0.0022173 96 901.998 97 0.0022173 98 901.998 99 0.0022173 100 901.998

第三次练习

教学要求：理解线性映射的思想，会用线性映射和特征值的思想方法解决诸如天气等实际问题。 3.1 对A????42?(0)(0)TT，，求出{xn}的通项. (x,x)?(1,2)?12??13?>> syms n

>> A=sym('[4,2;1,3]');x=[1;2];[P,D]=eig(A) %没有sym下面的矩阵就会显示为小数 P = [ -1, 2] [ 1, 1] D = [ 2, 0] [ 0, 5]

>> An=P*D^n*inv(P) An =

[ 2^n/3 + (2*5^n)/3, (2*5^n)/3 - (2*2^n)/3] [ 5^n/3 - 2^n/3, (2*2^n)/3 + 5^n/3] >> xn=An*x

xn =

2*5^n - 2^n 2^n + 5^n 3.2 B??0.40.2?1(0)(0)TT对于练习1中的，，求出{xn}的通项. (x,x)?(1,2)A???B12??0.10.310??>> syms n

>> A=sym('[2/5,1/5;1/10,3/10]'); x=[1;2];[P,D]=eig(A) P = [ -1, 2] [ 1, 1] D =

[ 1/5, 0] [ 0, 1/2]

>> An=P*D^n*inv(P) An =

[ (2*(1/2)^n)/3 + (1/5)^n/3, (2*(1/2)^n)/3 - (2*(1/5)^n)/3] [ (1/2)^n/3 - (1/5)^n/3, (1/2)^n/3 + (2*(1/5)^n)/3] xn =

2*(1/2)^n - (1/5)^n (1/2)^n + (1/5)^n

(n)x23.3 对随机给出的(x,x)，观察数列{(n)}.该数列有极限吗?

x1(0)1(0)T2>> A=[4,2;1,3]; a=[];

x=2*rand(2,1)-1; for i=1:20

a(i,1:2)=x;

x=A*x; end for i=1:20

if a(i,1)==0

else t=a(i,2)/a(i,1);

fprintf('%g,%g\\n',i,t); end

end

(n)x2结论：在迭代17次后，发现数列{(n)}存在极限为0.5

x13.4 对120页中的例子，继续计算xn,yn(n?1,2,?).观察{xn},{yn}及m(xn)的极限是否

存在. （120页练习9）

>> A=[2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0];

x0=[1;2;3;4]; x=A*x0; for i=1:1:100 a=max(x); b=min(x);

m=a*(abs(a)>abs(b))+b*(abs(a)<=abs(b)); y=x/m; x=A*y; end

x %也可以用fprintf(‘%g\\n’,x1)，不能把x1,y一起输出 y m

程序输出： x1 =

0.9819 3.2889 -1.2890 -11.2213 y =

-0.0875 -0.2931 0.1149

1.0000 m =

-11.2213

结论：{xn},{yn}及m(xn)的极限都存在.

3.5 求出A的所有特征值与特征向量，并与上一题的结论作对比. （121页练习10） >> A=[2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0]; [P,D]=eig(A) P =

-0.3779 -0.8848 -0.0832 -0.3908 -0.5367 0.3575 -0.2786 0.4777 -0.6473 0.2988 0.1092 -0.7442 -0.3874 -0.0015 0.9505 0.2555 D =

7.2300 0 0 0 0 1.1352 0 0 0 0 -11.2213 0 0 0 0 -5.8439

3.6 设p(0)?(0.5,0.25,0.25)T，对问题2求出若干天之后的天气状态，并找出其特点（取4位有效数字）. （122页练习12） >> A2=[3/4,1/2,1/4;1/8,1/4,1/2;1/8,1/4,1/4]; P=[0.5;0.25;0.25]; for i=1:1:20

P(:,i+1)=A2*P(:,i); end P P =

Columns 1 through 10

0.5000 0.5625 0.5938 0.6035 0.6069 0.6081 0.6085

0.6086 0.6087 0.6087

0.2500 0.2500 0.2266 0.2207 0.2185 0.2178 0.2175

0.2174 0.2174 0.2174

0.2500 0.1875 0.1797 0.1758 0.1746 0.1741 0.1740

0.1739 0.1739 0.1739

Columns 11 through 20

0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087

0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174

0.2174 0.2174 0.2174

0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739

0.1739 0.1739 0.1739

Column 21

0.6087 0.2174 0.1739 3.7 对于问题2，求出矩阵A2的特征值与特征向量，并将特征向量与上一题中的结论作对比. （122页练习14）

>> A2=[3/4,1/2,1/4;1/8,1/4,1/2;1/8,1/4,1/4]; [P,D]=eig(A2) P =

-0.9094 -0.8069 0.3437 -0.3248 0.5116 -0.8133 -0.2598 0.2953 0.4695 D =

1.0000 0 0 0 0.3415 0 0 0 -0.0915 3.8对问题

1，设p1,p2为A1的两个线性无关的特征向量，若

11p(0)?(,)T，具体求出上述的u,v，将p(0)表示成p1,p2的线性组合，求p(k)的

22具体表达式，并求k??时p(k)的极限，与已知结论作比较. （123页练习16） >> A=[3/4,7/18;1/4,11/18]; [P,D]=eig(A); syms k pk;

a=solve(‘u*P(1,1)+v*P(1,2)-1/2’,’u*P(2,1)+v*P(2,2)-1/2’,’u’,’v’); pk=a.u*D(1,1).^k*P(:,1)+a.v*D(2,2).^k*P(:,2) pk =

-5/46*(13/36)^k+14/23 5/46*(13/36)^k+9/23 或者：

p0=[1/2;1/2];

[P,D]=eig(sym(A)); B=inv(sym(P))*p0 B = 5/46 9/23 syms k

pk=B(1,1)*D(1,1).^k*P(:,1)+B(2,1)*D(2,2).^k*P(:,2) pk =

-5/46*(13/36)^k+14/23 5/46*(13/36)^k+9/23 >> vpa(limit(pk,k,100),10) ans =