微观经济学第五版部分习题参考答案1(3)

解答：（参见课件的有关分析）。

5．已知某消费者每年用于商品1和的商品2的收入为540元，两商品的价格分别为

P1=20元和P2=30元，该消费者的效用函数为U?3X1X22，该消费者每年购买这两种商

品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？ 解：根据消费者的效用最大化的均衡条件： MU1/MU2=P1/P2

其中，由U?3X1X2可得：

MU1=dTU/dX1 =3X22 MU2=dTU/dX2 =6X1X2

于是，有：3X22/6X1X2 = 20/30 整理得 X2=4/3X1 (1)

将（1）式代入预算约束条件20X1+30X2=540，得：X1=9，X2=12

因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为：U=3X1X22=3888

6．假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为QA?20?4P和QB?30?5P。

（1）列出这两个消费者的需求表和市场需求表；

(2)根据（1），画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。 解：（1） A消费者的需求表为

P 0 1 2 3 4 QAd 20 16 12 8 4 B消费者的需求表为 P 0 1 2 3 4 5 QBd 30 25 20 15 10 5 市场的需求表 P 0 1 2 3 4 5 Qd 50 41 32 23 14 5

（2）A消费者的需求曲线为：

P

5

20 Q

B消费者的需求曲线为：

11

dd25 0 6 0 6 0

P 6 30 Q

市场的需求曲线为 P

6 50 Q

357．假定某消费者的效用函数为U?x18x28，两商品的价格分别为P1，入为M。分别求出该消费者关于商品1和商品2的需求函数。

解答：根据消费者效用最大化的均衡条件： MU1/MU2=P1/P2

35其中，由以知的效用函数

U?x18x28可得：

55MUdTU3?1?88dx?8x1x213

MU2?dTU?5x8x?328dx128于是，有：

3?55888x1x253?p1 8x8x?328p21整理得

3x2p5x?1 1p2 12

P2，消费者的收即有 x2?5p1x1 （1） 3p25P1x1?M 3P2以（1）式代入约束条件P1X1+P2X2=M，有：

P1x1?P2解得 x1?3M 8P15M 8P2代入（1）式得 x2?所以，该消费者关于两商品的需求函数为

x1?3M 8P15M 8P2x2?

8．令某消费者的收入为M，两商品的价格为P1，P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，切斜率为-a。 求：该消费者的最优商品消费组合。

解：由于无差异曲线是一条直线，且其斜率的绝对值MRS12=-dx2/dx1=a,又由于预算线总是一条直线，且斜率为-P1/P2,所以该消费者的最优商品组合有三种情况，其中的第一、第二种情况属于边角解。

第一种情况：当MRS12>P1/P2时，即a> P1/P2时，如图，效用最大的均衡点E的位置发生在横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 X1=M/P1，X2=0。也就是说，消费者将全部的收入都购买商品1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

第二种情况：当MRS12

第三种情况：当MRS12=P1/P2时，a= P1/P2时，如

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图，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化达到均衡点可以是预算线上的任何一点的商品组合，即最优解为X1≥0，X2≥0，且满足P1X1+P2X2=M。此时所达到的最大效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一条无差异曲线所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

9．假定某消费者的效用函数为U?q入。求：

（1）该消费者的需求函数； （2）该消费者的反需求函数；

（3）当p?0.5?3M，其中，q为某商品的消费量，M为收

1，q=4时的消费者剩余。 12解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：

MU??U1?0.5?q?Q2货币的边际效用为:

?U???3?M于是，根据消费者均衡条件MU/P =?，有：

1 q?0.5?3p

2整理得需求函数为q=1/36p2

（2）由需求函数q=1/36p2，可得反需求函数为：

p?1?0.5q 61?0.5q，可得消费者剩余为： 6q（3）由反需求函数p?qCS??011?0.5q?dq?pq?63q01?pq?q0.5?pq

3以p=1/12,q=4代入上式，则有消费者剩余： Cs=1/3

10．设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即U?x?y?，商品x和商品y的价格格分别为px和py，消费者的收入为M，?和?为常数,且????1

（1）求该消费者关于商品x和品y的需求函数。

（2）证明当商品x和 y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两种商品的需求关系维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数?和?分别为商品x和商品y的消费支出占消费者

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收入的份额。

解答：（1）由消费者的效用函数U?x?y?，算得：

?U??x??1y??Q

?UMUy???x?y??1?yMUx?消费者的预算约束方程为px?py?M （1） 根据消费者效用最大化的均衡条件

?MUXpx??py （2） ?MUYpxx?pyy?Mpx?x??1y???x?y??1py得pxx?pyy?M （3） 解方程组（3），可得

x??M/px （4） y??M/py （5）

式（4）和式（5）即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。 上述需求函数的图形如图

（2）商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为

?pxx??pyy??M （6） 其中?为一个非零常数。

此时消费者效用最大化的均衡条件变为

px?x??1y???x?y??1py?pxx??pyy??M （7）

由于??0，故方程组（7）化为

px?x??1y???x?y??1pypxx?pyy?M （8）

显然，方程组（8）就是方程组（3），故其解就是式（4）和式（5）。 这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。

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